3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!

Пример 7–100: Решить дифференциальное уравнение: –=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: ===+.

3). Вычислим производную: =–и запишем условие:=–. Для заданного уравнения:=++=.

4). Вычислим интеграл: ===.

5). Запишем решение: =+=. У нас:+=.

Ответ: += – общее решение.

Пример 8–102: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: ===.

3). Вычислим производную: =и запишем условие:=–. Для заданного уравнения:=.

4). Вычислим интеграл: ==0.

5). Запишем решение: =+=. У нас:=.

Ответ: = – общее решение.

Пример 9–104: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: =. У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

2). Вычислим интеграл: ===.

3). Вычислим производную: =и запишем условие:=–. Для заданного уравнения:==.

4). Вычислим интеграл: ===.

5). Запишем решение: =+=. У нас:+=.

Ответ: += – общее решение.

Вопросы для самопроверки:

1. Каковы стандартные формы однородных уравнений?

2. Какова стандартная схема решения однородных уравнений?

3. Какова стандартная форма уравнений, приводящихся к однородным уравнениям?

4. Как определяют ДУ в полных дифференциалах?

5. Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?

6. Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?

☺☺

ЗАНЯТИЕ 6. Решение дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Нахождение особого решения.

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 114-128 (чётные).

8

☺ ☻ ☺

Если Дифференциальное уравнение 1-порядка записано в виде: , то говорят, что это уравнение – неразрешённое относительно !..

Рассмотренные ранее типы уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, линейные, однородные... достаточно простоможно было разрешить относительно. Теперь мы рассмотрим такие уравнения, которые:

• достаточно сложноприводятся к форме записи уравнения;

• принципиально не могутбыть приведены к форме записи уравнения.

Мы рассмотрим только некоторые из типов уравнений, неразрешённых относительно производной , а именно:

1. Левая часть уравнения есть многочлен n-ой степени относительно символа : , (1)

где – функции от переменных:(в частном случае постоянные).

В высшей алгебре доказано, что многочлен левой части уравнения (1) в любом случае может быть преобразован в произведение простейших множителей:

. (2)

Из записи (2) следует уравнений 1-го порядка: , . Решение каждого такого уравнения даст функцию , являющуюся решением уравнения (1).

Замечание: На самом деле, начиная с многочлена 3-й степени, процесс разложения многочлена в произведение простейших скобок весьма трудоёмкий!..

2. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее x: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

• Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, интегрированием которого получаем: =.

• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

3. Уравнение, разрешенное относительно x и не содержащее y: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: .

• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

• Интегрируя уравнение: = получаем: =.

• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

4. Уравнение, разрешенное относительно y и содержащее x: . Для решения таких уравнений применяют специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

• Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции по переменной , именно: =. Заменяя =, получим: =.

• Составим систему: – из этой системы находят решение в явном или параметрическом виде.

Замечание: Рассмотренные в этом Занятии примеры вполне иллюстрируют особенности решения подобных задач!..

5. Уравнение Лагранжа: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: .

• Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: .

• Выделим решение . Может быть получено несколько решений:, каждое из которых дополнительно анализируют после получения общего решения!

• Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде линейного уравнения: –=. Пусть его решение: .

• Составим систему: – общий интеграл уравнения Лагранжа.

••• ≡ •••

Пример 1–114: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

Замечание: Заданное уравнение представляется многочленом 3-го порядка и разложение его в произведение скобок выполняется трудоёмко!..

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Это специальная форма уравнения, неразрешённого относительно . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме.

2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

3). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!

4). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, которое легко интегрируется: =, то есть =.

5). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение – особое.

Замечание: Решение называют особым, если оно не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной!..

Пример 2–116: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =. Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!

3). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, которое легко интегрируется: =, то есть =.

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать: не получится!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 3–118: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.

2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!

3). Интегрируем уравнение: ==, или =.

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 4–120: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.

2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!

3). Интегрируем уравнение: ==, или =.

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 5–122: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =0.

2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: =.

3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: . В нашем случае: =, производная = и =0. Тогда уравнение имеет вид: =

4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено:, , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..

5). Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде:

–= – линейное уравнение,

решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение: .

6). Cоставим систему: у нас: – общий интеграл заданного

Ответ: – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.

Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =.

2). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: .

3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая =, запишем: . В нашем случае: =, производная = и =. Тогда уравнение имеет вид: =.

4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено:, , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: и . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..

5). Теперь . Учитывая =, перепишем: в виде:

–= – линейное уравнение,

решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение найдём применением общего алгоритма решения линейного уравнения:

• Решение уравнения ищем в виде функции: .

• Вычислим: ==, и запишем: u=, то есть .

• Вычислим: ==+, и запишем.

• Запишем общее решение линейного уравнения: =∙. Если последнее записать в виде: =∙+ и в первой дроби выполнить преобразование выделение целой части, то =.

6). Вычислим: =, и запишем:

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: и .

☺☺

Особый интерес вызывает рассмотрение уравнения Клеро . Может показаться,что это всего лишь частный случай уравнения Лагранжа, когда.

На самом деле, в связи с этим уравнением затрагиваются такие геометрические свойства семейства кривых, которые не проявляются при решении других дифференциальных уравнений первого порядка.

Изучение совокупных свойств семейства интегральных кривых уравнения Клеро приводит к понятиям: огибающая семейства кривыхиособые решениядифференциальных уравнений.

••• ≡ •••

Пример 7–126: Решить уравнение Клеро: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Общее решение записывается в виде: .

2). Из системы: получаем систему для заданного уравнения:или в параметрическом виде:, которое представляется в виде: – парабола.

Ответ: общее решение:, особое решение: – парабола (огибающая).

Пример 8–128: Решить уравнение Клеро: , применяя метод введения параметра.

Решение:

1). Общее решение записывается в виде: .

2). Из системы: получаем систему для заданного уравнения:, или в параметрическом виде:в котором удаётся исключить параметр: – особое решение.

Ответ: общее решение:, особое решение:.

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют уравнение 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?

2. Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.

3. Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?

4. Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?

5. Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?

6. Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?

7. Что такое «Уравнения Лагранжа»?

8. Что такое семейство кривых линий?

9. Можно ли рассматривать общее решение ДУ 1-го порядка как семейство кривых линий?

10. Что такое огибающая линия семейства кривых?

11. Как найти огибающую линию семейства кривых?

12. Что такое особая точка дифференциального уравнения?

13. Что такое особое решение дифференциального уравнения?

14. Какова стандартная запись уравнения Клеро?

15. Какова уравнение Клеро считают частным случаем уравнения Лагранжа?

16. Как найти особое решение уравнения Клеро?

☺☺

ЗАНЯТИЕ 7. Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка».

☺ ☻ ☺

Контрольная работа №1 предназначена оценить степень усвоения основных понятий теории Дифференциальных уравнений и способов решения простейших типов ДУ первого порядка:

• Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

• Однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению 1-го порядка.

• Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

• Уравнения в полных дифференциалах.

• Уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной.

Состав и степень трудности предлагаемых в Контрольной работе заданий согласовывается с Методическим советом кафедры «Высшая математика».

При разработке заданий Контрольной работы учитывается также требование побудить студентов повторить пройденный материал по предмету. Это значит, что в заданиях не должно быть ничего такого, что, так или иначе, требует самостоятельных обобщений и выводов со стороны студентов.

Перед выполнением Контрольной работы студенты должны ознакомиться с перечнем вопросов, которые будут отражены в заданиях. Также важным элементом подготовки к контрольной работе должны быть регулярные текущие контрольные мероприятия в виде оперативных опросов: по 6-7 минут в начале каждого занятия.

☺☺

ЗАНЯТИЕ 8. Различные методы понижения порядка дифференциального уравнения для случаев: а) уравнение не содержит явно или , б) уравнение содержит простые интегрируемые комбинации. Линейная независимость системы функций. Определитель Вронского.

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 212-240 (чётные), 286-294 (чётные).

20

☺ ☻ ☺

Известно, что при нахождении корней многочлена - го порядка понижение порядка многочлена на несколько единиц существенно понижает общую трудоёмкость нахождениявсехкорней многочлена!.. В общей теории многочленов разработаны методы последовательного нахождения корней: теоремы Безу, Виета и другие!..

При решении дифференциальных уравнений - го порядка понижение порядка уравнения хотя бы на 1 также может существенно ускорить, и облегчить, процесс нахождения его решений!.. Рассмотрим несколько специальных типов уравнений, позволяющих применить процесс понижения порядка заданного уравнения!

Тип–А. Уравнение задано в виде: =.

Так как =, то исходное уравнение можно записать в виде:= и интегрировать его как уравнение 1-го порядка: =+.(1)

Выражение является дифференциальным уравнением - го порядка! Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ- го порядка свести к задаче решения ДУ 1-го порядка. Конечно, для полного решения задачи придется применить найденный способраз, но это уже не важно.

Тип–В. Уравнение задано в виде: , то есть не содержит явно переменнуюи производные порядка ниже- го не участвуют.

В этом случае принимают: =и далее записывают: =,...,=. В результате получаем уравнение:.(2)

Выражение (2)является дифференциальным уравнением порядка. Решением этого уравнения будет:,(3)

что равносильно переходу к уравнению Типа–А: ==.

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка.

Тип–С. Уравнение задано в виде: – не содержит явно переменную.

В этом случае принимают: =и далее записывают: , и так далее. В результате получаем уравнение:

. (4)

Выражение (4)является дифференциальным уравнением порядка. Решением этого уравнения запишем в виде:,(5)

что равносильно переходу к уравнению первого порядка: ==.

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка.

Тип– D. Уравнение задано в виде: – полная производная по переменной.

В этом случае «на первом шаге интегрирования» имеем уравнение 1-го порядка. Его решение записывается в виде выражения: далее решают уравнение порядка.

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка.

Тип– E. Уравнение задано в виде: , причем функцияF(...) – однородная относительно переменныхy, y′, y′′,… , y⁽ⁿ⁾, то есть:

= .

В этом случае применяют подстановку: u=и переходят к уравнению порядка.

Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка.

Рассмотренные типы уравнений имеют сходство в том, что в каждом случае поставленная задача «понизить порядок уравнения» решается по «стандартному алгоритму».

••• ≡ •••

Пример 1–212: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А.

2). В результате первого интегрирования получаем: =+=–+.

3). В результате 2-го интегрирования: =+=–++.

Ответ: общее решение:=–++.

Пример 2–214: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А. Запишем его в виде: .

2). В результате первого интегрирования получаем: =2+3+=+.

3). В результате 2-го интегрирования получаем: =++. Учтем интеграл:, и запишем:=++=++.

4). В результате 3-го интегрирования получим: =+3+. Учтем интеграл:, тогда:=++. Воспользовавшись свойством произвольных постоянныхпоглощения подобных членов и их независимости, запишем окончательно:=++.

Ответ: общее решение: =++.

Пример 3–216: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи запишем решение: . Видим, уравнение относится к Типу–C: явно не содержит. Если внимательнее присмотреться, заметим в примере также Тип–D.

2). Перепишем уравнение: . Интегрируем последнее:.

Замечание: распространена ошибка: вместо записиприменяюти считают, что .

3). Получено уравнение: . Рассмотрим случаи:

▪ при =0 получаем решение:, или;

▪ при выборе знака получаем решение в виде;

▪ при выборе знака получаем решение:.

Ответ: решения: 1)и; 2); 3).

Пример 4–218: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит .

2). Примем: =, тогда=и уравнение принимает вид:, или в стандартной форме:– линейное уравнение, гдеи. Решение уравнения ищем в виде:.

2). Вычисляем интеграл: ==и записываем выражение:==.

3). Вычисляем: ==+=+.

4). Запишем общее решение уравнения: =∙.

5). Учитывая =, запишем уравнение:– уравнение с разделяющимися переменными. Его решение:

Ответ: – общее решение.

Пример 5–220: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи запишем решение: . Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит.

2). Примем: =→ ,уравнение принимает вид:, или. Учтем: решениеp=0 (уже учтено!) иp=1, то есть:=.

3). Интегрирование уравнения: =дает:=. Из последнего выражения получаем ДУ с разделяющимися переменными: ′=. Его решение можно записать в виде:=++. Решения:и=из общего решения не получаются.

Ответ:=++ – общее решение. Также:и=.

Пример 6–222: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Очевидно, решение.

2). Примем: =, тогда=и уравнение принимает вид:, или в стандартной форме:– однородное уравнение. Примеми запишем:==.

3). Исследуем равенство: , в нашем случае. Из тригонометрии известно решение последнего:, или– семейство прямых, проходящих через начало координат. При значенииполучаем решение, то есть. Так как, из уравненияполучаем:.

4). Теперь примем и вычислим интеграл==.

5). Для функции получено общее решение:=, или. Учитывая, что, перепишем общее решение:, или.

6). Перепишем уравнениев виде:. Для удобства примем:. Тогда, или=.

Ответ: =, где – общее решение ДУ, также решением уравнения является функция: , .

Пример 7–224: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Очевидных решений нет.

2). Примем: =, тогда=и уравнение принимает вид:, или в стандартной форме:– линейное уравнение, гдеи.

3). Вычисляем интеграл: =и записываем выражение:==.

4). Вычисляем: ==+=+.

5). Запишем общее решение уравнения:=∙=.

6). Интегрируя уравнение: =, получаем=.

Ответ: =– общее решение.

Пример 8–226: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Очевидно, решение.

2). Примем: =, тогда=и уравнение принимает вид:, или в стандартной форме:– уравнение с разделёнными переменными. В результате интегрирования получаем:, откуда.

Ответ: =– общее решение, решение входит в общее решение.

Пример 9–228: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Учтем решение:=0, или=.

2). Примем: =, тогдаи уравнение принимает вид:, или в стандартной форме:=– переменные разделились, его решение:=+, или==.

3). Интегрируем уравнение =первый раз:.

4). Ещё раз интегрируем: . Применим модификацию произвольных постоянных величинис целью поглощения в записи решения слагаемого, тогда.

Ответ: – общее решение, содержит=.

Пример 10–230: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решение: . Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит.

2). Примем: =→ ,уравнение принимает вид:. Так как решениеуже учтено, запишем– однородное уравнение. Примем. Тогда=. Выделяем решения=0. Решение=0 уже учтено:, решениедаёт.

3). Теперь примем и вычислим интеграл==. Получено общее решение:=, или, учитывая, запишем:. Учитывая, что =имеем уравнение, не разрешённое относительно производной. Ниже справка:

Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее x: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

• Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

• Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =, интегрированием которого получаем: =.

• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

4). В нашем случае =,=. Тогда==, откуда получаем общее решение.

5). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения. В нашем случае эта система может быть записана в виде:.

Ответ: – общее решение. Также:и.

Пример 11–232: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решений не видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: =→ ,уравнение принимает вид:, или запишем– уравнение с разделяющимися переменными, откуда:.

3). Перепишем последнее: , или. Тогда:.

Ответ: – общее решение.

Пример 12–234: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решение: , уравнение относится к Типу–С: явно не содержит.

2). Примем: =→ ,уравнение принимает вид:. Так как решениеуже учтено, запишем, или– линейное уравнение, гдеи. Решение уравнения ищем в виде:.

3). Вычисляем интеграл: =и записываем выражение:==. Вычисляем:==+=+. Тогда=.

4). Учитывая =, запишем. Нужно учесть случаи=0 и.

5). Для случая =0, запишем. Тогда решение имеет вид:.

6). Для случая , запишем, откуда:. Можно записать общее решение и в виде:.

7). Для случая , запишем, откуда:, здесь для постоянной величиныприменяется модификация (поглощение множителя 2).

Ответ: все записи решений в тексте.

Пример 13–236: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи решение: , уравнение относится к Типу–С: явно не содержит.

2). Примем: =→ ,уравнение принимает вид:. Так как решениеуже учтено, запишем– уравнение с разделяющимися переменными.

3). Запишем , откуда:. Далее получаем– общее решение уравнения (применена модификация постоянных).

Ответ: общее решение:, также.

Пример 14–238: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, что уравнение явно не «намекает» ни на какой из рассмотренных типов уравнений. Но, «по логике вещей», ему «придется быть» Типом– D. Действительно, исходное уравнение легко переписать в виде:.

2). Интегрирование уравнения даёт: – уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его: – общее решение.

Ответ: общее решение:.

Пример 15–240: Решить ДУ: =, используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, что уравнение явно не «намекает» ни на какой из рассмотренных типов уравнений. Проверим Тип– D. Действительно:=.

2). Интегрирование уравнения даёт: =+ – уравнение Типа–В. Примем:=, тогда=и уравнение принимает вид:=+– уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем:, или.

3). Применяя табличный интеграл: , запишем=. Для удобства модифицируем постоянные величины:=.

Ответ: общее решение:=.

☺☺

Пусть имеем совокупность функций: ,,...,и необходимо установить, зависима или нет эта совокупность. Оказывается, использование определителя Вронского позволяет решить вопрос о линейной зависимости (и независимости) совокупности функций.

Теорема: (8.4)

Если функции ,,..., линейно зависимы на интервале , и имеют производные до - го порядка, то определитель (Вронского): = тождественно равен нулю для всех значений переменной .

Определитель Вронского будет использоваться при решении линейных однородных дифференциальных уравнений - го порядка.

••• ≡ •••

Пример 16–286: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: ==.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 17–288: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: ===.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 18–290: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , ,.

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: ===.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 19–292: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , .

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: ==1.

2). Определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.

Ответ: система функций линейно независима.

Пример 20–294: Исследовать на линейную зависимость систему функций: , ,.

Решение:

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского: ==0.

2). Видим: определитель Вронского равен нулю. Значит, система функций линейно зависима.

Ответ: система функций линейно зависима.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем смысл задачи понижения порядка дифференциального уравнения?

2. Какие типы уравнений используются в задаче понижения порядка ДУ?

3. Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?

4. Что такое «определитель Вронского»?

5. Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?

☺☺

ЗАНЯТИЕ 9. Линейные однородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Построение ФСР при различных случаях корней характеристического уравнения.

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 322-338 (чётные).

8

☺ ☻ ☺

Общие сведения-1. При выполнении задания необходимо знать, что характеристические корни находят из характеристического уравнения. Характеристическое уравнение строят, формально заменяя в линейном однородном дифференциальном уравнении- го порядка с постоянными коэффициентами производнуюна степень:

, (1)

причем запись (1) можно реализовать в обоих направлениях: имея ДУ, построить характеристическое уравнение, и наоборот.

Если известны корни характеристического уравнения: , можно восстановить характеристическое уравнение (согласно известной теореме алгебры о разложении многочлена- степени в произведениелинейных множителей):

, (2)

учитывая тождественность многочленов левой и правой частей (2).

Из школьной алгебры наиболее известен частный случай записи (2) для многочлена 2-й степени (теорема Вьета): , (3)

где иполучены из тождественности левой и правой частей выражения (3).

Если значение коэффициента не задано, принимают= 1, что при выполнении заданий и следует применять.

Задача-1. Пусть заданы характеристические корни:некоторого дифференциального уравнения. Имея эти корни, записать ДУ, для которого числаявляются характеристическими корнями.

Выполняем стандартные действия:

1). Запишем характеристический многочлен, используя формальную запись:

. (4)

2). В выражении (4) раскрываем все скобки, приводим подобные члены и записываем характеристический многочлен, начиная со старшего члена по убыванию.

В результате выполнения этого действия, получаем характеристический многочлен:

. (5)

Замечание: Если многочлен записан в форме (5), то (по теореме Виета) часто оказываются полезными соотношения: а)=; б)=, если степень многочлена– чётное число; в)=, если степень многочлена– нечётное число.

3). Имея выражение (5), строим ДУ, которому соответствует данный характеристический многочлен: . (6)

4). Записываем ответ: – искомое дифференциальное уравнение.

Замечание: запись (6) можно прочитывать как слева направо, так и справа налево, что важно при решении дифференциального уравнения!

Общие сведения-2. Наибольшие затруднения при решении дифференциального уравнения вызывает запись фундаментальной системы решений. Рассмотрим подробнее правила формирования ФСР по найденным характеристическим корням дифференциального уравнения:

Задача-2. Пусть характеристические корни:некоторого дифференциального уравнения вычислили (используя теорию многочленов). Так как мы рассматриваем только случай линейных дифференциальных уравнений сдействительнымикоэффициентами, то среди корнеймогут быть действительные: простые или кратные, а также комплексно-сопряжённые: простые или кратные. Имея корни:, необходимо построить ФСР для заданного дифференциального уравнения.

Выполняем стандартные действия для каждого характеристического корня:

1). Пусть характеристический корень действительный:==. Этот корень порождает для включения в ФСР:

а) функцию: , если характеристический кореньпростой;

б) функции: ,,,,, если характеристический кореньимеет кратность.

2). Пусть характеристический корень комплексно-сопряжённый:=. Этот корень порождает для включения в ФСР:

а) пару функций: и, если характеристический кореньпростой;

б) если характеристический корень имеет кратность, то удобно использовать запись набора функций:,,,,;

, ,,,.

Замечание: Если для каждого характеристического корня построен набор функций, соответствующий его кратности, то ФСР заданного дифференциального уравненияn-го порядка получит ровноnфункций-решений этого уравнения!

••• ≡ •••

Пример 1–322: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение :, его корни:=.

Черновик:

а). Нетрудно оценить (без точных вычислений), что корни уравнения комплексные: =. Это значит, что+=и=.

б). У нас (по теореме Виета) +=, значит:=. Так как (у нас)=13, то нетрудно получить:==4. Тогдаи=.

2). Учитывая пункт 2) решения Задачи-2, составляем ФСР: ,и общее решение уравнения:.

Ответ: ФСР:,.Общее решение:.

Пример 2–324: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение :, его корни:=2,=.

Черновик:

а). Нетрудно угадать корень=2 (обычно автор задачи дарит легко угадываемый целый корень). После этого перепишем уравнение=.

б). Далее (по теореме Виета) остаётся воспользоваться формулой: ==.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составляем ФСР: =,=, и общее решение уравнения:=.

Ответ: ФСР:=,=.Общее решение:=.

Пример 3–326: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Запишем характеристическое уравнение :, его корни:=, кратные.

Черновик:

а). В этом Примере, чтобы легко угадать корень перепишем уравнение:.

б). Теперь очевидна запись : , из которой следует:==.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составляем ФСР: =,==и общее решение уравнения:.

Ответ: ФСР:=,=.Общее решение:y=.

Пример 4–328: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим уравнение :, его корни:=,=.

Черновик:

а). В этом Примере, легко заметить, что корни уравнения :могут быть только комплексные. Примем=и перепишем уравнение:.

б). Так как мы предположили, что корни могут быть комплексными, требование (для случая действительных корней)не применяем. В таком случае решениедля уравнениялегко угадывается. После чего, получаем:.

в). Учитывая обозначение:=, запишем=и=.

2). Учитывая пункт 2) решения Задачи-2, составим ФСР: =,=,=,=. Тогда:=− общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 5–330: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение :, его корни:=0 − кратные,=1 и=.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде:.

б). Учитывая теорему Безу, можем записать корни уравнения :=0,=1 и=.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: =1,==,=,=изапишем: =− общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 6–332: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение :, его корни:=− кратные,=− кратные.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде:.

б). Учитывая теорему Безу, запишем корни уравнения :==− корень кратности 2,==− корень кратности 2.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: =,==,=,==. Тогда:=− общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 7–334: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение :, его корни:=0 – кратности 3,=3 – кратности 2.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде:.

б). Учитывая теорему Безу, запишем корни уравнения :=0 – кратности 3,=3 – кратности 2.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: =,==,==,=,==и запишем:− общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

Пример 8–336: Найти общее решение ДУ: .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение :, его корни:=0 – кратности 4,=– кратности 2.

Черновик:

а). Перепишем уравнение в виде:.

б). Учитывая теорему Безу, запишем корни уравнения :=0 – кратности 4,=– кратности 2.

2). Учитывая пункт 1) решения Задачи-2, составим ФСР: =,==,==,==,=,==. Тогда:− общее решение уравнения.

Ответ: ФСР, общее решение: в тексте.

☺☺

Пример 9–338: Найти частное решение ДУ: , , .

Решение:

1). Составим характеристическое уравнение: , его корни:=1 – кратный.

2). Составляем ФСР: ,и общее решение:=. Найдем производную:.

3). Для заданных начальных условий: =,=. Находим:,. Следует частное решение:.

Черновик:

а). Запишем определяемую начальными условиями систему в виде:

б). Вычитая из второго уравнения системы первое уравнение, сразу получаем: . Подставляя это значение в первое уравнение, сразу (устно!) получаем:.

в). Используя найденные значения, записываем частное решение: =. Эту запись можно считать учебным Ответом к Примеру. Если мы предполагаем использование решения в практических целях, то удобнее запись:.

Замечание:В каждом частном Примере (задаче) нужно предполагать практическое использование получаемых результатов некоторыми специалистами. Это значит, что нужно найденное решение оформлять в виде максимально удобной технологии для выполнения вычислительных операций и исследований!

Ответ: частное решение:.

Вопросы для самопроверки:

1. Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?

2. Что такое «определитель Вронского»?

3. Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?

4. Что такое «фундаментальная система решений – ФСР»?

5. Может ли понятие ФСР применяться к неоднородным уравнениям?

6. Как записывают общее решение линейного однородного дифференциального уравнения?

7. Каковы свойства общего решения ДУ?

8. Что значит решить задачу Коши для ДУ второго порядка?

9. Какова роль определителя Вронского при решении задачи Коши для ДУ n-го порядка?

☺☺

ЗАНЯТИЕ 10. Линейные неоднородные ДУ - го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод неопределённых коэффициентов. Нахождение частного решения.

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 354, 360-376 (чётные).

10

☺ ☻ ☺

Общие сведения. Пусть имеем линейное неоднородное дифференциального уравнения- го порядка:, (1)

коэффициенты ,,..., и – заданные непрерывные функции переменной (или постоянные). Необходимо найти функцию как решение уравнения (1).

Оказывается, независимо от того, в какой форме задана функция уравнения (1), решают в два этапа:

Этап : Для заданного линейного неоднородного уравнения (1) записывают соответствующее однородное уравнение: . (2)

Решая линейное однородноеуравнение (2), находят егообщеерешение:.

Этап : Для заданного линейного неоднородного уравнения (1) находят (любым доступным способом) частное решение: и записывают его общее решение: =+.

Решая линейное однородное уравнение (2), находят его общеерешение:.

Случай-1.Функция произвольная → применяют метод «вариации произвольных постоянных».

Пусть задано линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с коэффициентами, зависящими от переменной :.

Для неоднородного уравнения записывают соответствующееемуоднородноеи находят егообщее решение:=, где функции и независимые решения однородного уравнения. После этого (как и в случае линейного неоднородного уравнения 1-го порядка) произвольные постоянные величиныиобъявляютсянекоторымифункциямипеременнойс требованием, чтобы функция=была решением неоднородного уравнения!

В соответствии с определением решения, вычислим производную объявленной функции-решения:=. (4)

Так как в выборе функций иесть определённые произвол, потребуем от этих функций выполнения требования:=0. С учётом этого требования, вычислим производнуюдля объявленной функции:=. Подставим в исходное уравнение выражения для функций,,:

++=. (5)

Потребуем от искомой функции выполнения условия: =. Объединив требования, запишем систему уравнений:(6)

Как следует из записи (6), требования к функциям ипреобразовались в требования к их производным:и, которые должны удовлетворять системе линейных уравнений. Возможно ли выполнение таких сложных требований?

Так как функции и – независимые решения однородного уравнения, то определитель Вронского: =0. Это значит, функции и будут вычислены (например, по правилу Крамера) однозначно. Для нахождения функций и остаётся вычислить интегралы:

=+,=+. (7)

В выражении (7) величины и являются произвольными постоянными интегрирования. Используя (7), запишем, полученное методом вариации произвольных постоянных величин, общее решение исходного, неоднородного, уравнения:

=++. (8)

или: =+=y₁+y₂+. (9)

Вывод: Для решения неоднородного дифференциального уравнения методомвариации произвольных постоянных величиннеобходимо реализовать как действия Этапа– найти общее решениеоднородного уравнения, так и действия Этапа– вычисление. Требования к совокупности функцийи(линейная независимость!) гарантируют вычислениеи построение общего решения заданного уравнения=+!

Случай-2. Функцияспециальная→ применяют метод «неопределенных коэффициентов».

Функцию называютспециальной, прежде всего из-за того, что её запись имеет специальную (стандартную) форму:=, (16)

в записи (16) множитель – многочлен отстепени, множитель– многочлен отстепени: в общем случае считаем;и– действительные числа.

Замечание: Будем считать, что многочленыиприсутствуют в записи (16) всегда, даже и в тех случаях, когда один из них равен нулю!..

При построении алгоритмов решения конкретных уравнений важную роль будет играть число: =, которое использует параметрыивыражения (16). Выделим частные случаи построения функции:

– Классификационным признаком случая будем называть число =, причёмв частном случае может быть равно нулю. Это значит, что число-обязательно действительное.

– Классификационным признаком случая будем называть число =, причём. Это значит, что число-обязательно комплексно-сопряжённое.

Замечание: Выделение случаевиможет показаться неожиданным! Но, ведь естественно сначала провести исследования с давно привычным действительным числом, а потом выявлять особенности применения комплексного числа!..

Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и установлено, что его правая часть имеет специальный вид (16), то этот факт считают классификационным признаком: такое уравнение решают, применяя стандартный алгоритм! Логика этого факта: функция– специальная → применяемспециальный(стандартный)алгоритмрешения!

Замечание: Если в записиодновременно выделяется несколько чисел, например, числа:=и=, применяют свойство аддитивности (по Теореме 9.3). В таком случае решают две задачи. Для функциинаходят решение, для функции– решение, затем их объединяют в виде суммы решений:=+.

Изучение метода неопределённых коэффициентов (как и при изучении метода вариации произвольных постоянных) целесообразно начинать в применении к дифференциальным уравнениям 2-го порядка: в таком случае алгоритм решения уравнения будет менее громоздок, чем в случае уравнения- го порядка. Изучив все особенности применения метода неопределённых коэффициентов с использованием уравнений 2-го порядка, нетрудно будет определить обобщение для случая уравнений- го порядка.

Пусть задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , где– специальная функция. (17)

Как всегда, решить линейное уравнение – значит найти его общее решение: =+. Начинают с простого, находят общее решение однородного уравнения: . Запишем его характеристическое уравнение: . (18)

Найдя характеристические корни уравнения (18) и , в соответствии с теорией линейных однородных дифференциальных уравнений, запишем ФСР уравнения (17): , и его общее решение: =.

Так как алгоритм поиска частного решения существенно зависит от конкретной записи специальной функции , рассмотрим несколько случаев записи этой функции.

Случай -. Так как=, то правая часть уравнения:=, где– многочлен отстепени,– некоторое действительное число.

Так как функция задана, то в многочлене=все коэффициенты:,,...,– известные действительные числа. Учитывая опыт дифференцирования функции, заданной многочленом, а также показательной функции вида, можем догадаться, что частное решение уравнения (17) следует искать в виде функции:=. Заметим, в записи многочлена=все коэффициенты:,,...,–неопределённыедействительные числа, подлежащие вычислению!

Далее вычисляем: =и=. Поставляем функции,ив заданное уравнение (17) → после деления равенства на общий (не равный нулю!) множитель, получаем тождество:

=. (19)

Для удобства дальнейших рассуждений обозначим многочлен левой части равенства (19), с учётом присутствия параметра , как. Тогда равенство (19) следует понимать как тождественное равенство многочленови.

Замечание: В соответствии с теорией многочленов (высшая алгебра) многочленыитождественны(неразличимы!), если:

1) степенимногочленовсовпадают, то есть;

2) коэффициенты при одинаковых степеняхмногочленовсовпадают.

Оказывается, степень многочлена зависит от значения параметра, причём существенными оказываются случаи:

– значение числа =не является корнемхарактеристического уравнения (18), то естьи. В этом случае степень многочленаравна;

– значение числа =является простым корнем характеристического уравнения (18), то есть =и. В этом случае степень многочленаравна;

– значение числа =является кратным корнемхарактеристического уравнения (18), то есть==степень многочленаравна;

Нетрудно догадаться (в соответствии с определением равенства двух многочленов), что тождество (19) возможно лишь в случае .

Случай. Нахождение решения.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число.

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

Случай. Нахождение решения.

0). В этом случае в выражении (19) слагаемое обращается в нуль и левая часть равенства (19) теряет неопределённый коэффициент. Ситуация легко исправляется, если для нахождения решениявместо многочленаприменять многочлен. Далее продолжение стандартно.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число.

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

Случай. Нахождение решения.

0). В этом случае в выражении (19) обращаются в нуль: и. Это значит, что левая часть равенства (19) теряет неопределённые коэффициентыи. Ситуация легко исправляется, если для нахождения решениявместо многочленаприменять многочлен. Далее продолжение стандартно.

1). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

2). Записываем равенство, левая часть которого является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – известное число.

3). В последнем равенстве левая часть является суммой коэффициентов при множителе , а правая часть – число.

В результате получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов многочлена: .

Случай -. Пусть:=, где– многочлен отстепени,– многочлен отстепени. В общем случае считаем, параметр, а значение параметрапроизвольно, включая значение.

Воспользуемся формулой Эйлера: =. Ничто не мешает вместо числаупотребить число, именно:=. Но, в таком случае нетрудно получить формулы:=и=.

Воспользуемся полученными формулами для случая, когда принимает значенияи запишем:=и=. Воспользовавшись этими формулами, запишем правую часть уравнения в виде:

=, (20)

или в виде: =+=+. (21)

Нетрудно заметить, что степень каждого из многочленов: ибудет определяться числом=.

Замечание: В частном случае один из многочленовилиможет быть нулевым!..

Для удобства обозначим многочлены: и. Обозначим также числа:=и=. Учитывая результаты рассмотрения Случаярешения неоднородного уравнения с правой частью=, нетрудно заметить правила построения формы записи решенийдля случая функцииидля случая функции:

1). Если число не совпадает с характеристическими корнямии, то=. Если=или=, то=.

2). Если число не совпадает с характеристическими корнямии, то=. Если=или=, то=.

Особенность рассматриваемого случая в том, что числа икомплексно-сопряжённые, и их несовпадения и совпадения с характеристическими корнями будут происходитьодновременно!

Учитывая выявленные особенности числа =, для случаяможем определитьобщий алгоритмнахождения частного решениязаданного неоднородного уравнения:

– значение числа =не является корнемхарактеристического уравнения (18), то естьи. В этом случае ищем частное решениев виде:

=, (22)

степени многочленов иопределяются из условия:=.

– значение числа =является корнемхарактеристического уравнения (18), то есть==. В этом случае ищем частное решениев виде:

=. (23)

Замечание: Случай, когда значение числамогло бы бать кратным корнем характеристического уравнения (18) для дифференциального уравнения 2-го порядка невозможен!..

Рассмотрим несколько примеров, которые подробно иллюстрируют правила записи общего вида частного решения с неопределёнными коэффициентами и затем нахождения решениядля заданного уравнения – вычисление всех неопределённых коэффициентов.

••• ≡ •••

0). Правая часть – специальная. Ей соответствует число .

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=–1,=1. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения: учитываем, что число совпадает с корнем==; тогда=. Остается найти неопределенный коэффициент.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=,=. Подставляя функциюи её производные в заданное уравнение, получаем (сократив на) тождество:, откуда легко находим:=–, и частное решение=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Из уравнения : получаем величину неопределённого коэффициента=.

Замечание. Уравнение : показывает тождество . Так как при вычислении неопределённых коэффициентов на основании тождества, получаемого для функции , уравнений всегда больше, чем неизвестных, то тождества всегда будут. Их польза в том, что они помогают обнаруживать возможные ошибки при составлении тождества (ошибки вычисления производных функции ).

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+.

Ответ: общее решение:=.

Пример 2–360: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Ей соответствует число .

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число совпадает с характеристическими корнями, получаем=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=,

=.

Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем тождество:

+

+=,

откуда находим значения: и записываем=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Из уравнения : получаем=1, из уравнения: получаем=0,из уравнения : получаем=0, из уравнения: получаем=1.

Замечание. Применение черновика способствует развитию навыков: 1) на основании полученного тождества записывать необходимые уравнения для соответствующих неопределённых коэффициентов; 2) из полученной системы уравнений быстро и безошибочно вычислять неизвестные коэффициенты.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+.

Ответ: общее решение:=+.

Пример 3–362: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни=–,=. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число не совпадает с характеристическими корнямии, получаем=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=. Подставивив уравнение, получим тождество:

–=,

откуда находим значения: =–1,=0,=0,и записываем=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Запись системы уравнений в такой (стандартной) форме позволяет достаточно просто решить систему: мы просто видим решение =–1,=0,=0,. В случае несовпадения с ответом задачника быстро находить ошибке: она либо в процессе приравнивания коэффициентов при однородных членах, либо в производных.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+.

Ответ: общее решение:=.

Пример 4–364: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=0,=3. Построим ФСР:=1,=. Запишем=.

2). Правая часть имеет вид: =+– сумма специальных → воспользуемся свойством «аддитивности».

3). Для специальной функции =→ число=→ можно сразу записать:=. Обнаруживаем совпадение числас корнем, корректируем запись:=.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=,=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:–3=, откуда легко находим:=, и частное решение=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =.

5). Для специальной функции =→ число=→ можно сразу записать:=. Числосовпадает с корнем=0, корректируем запись:=.

6). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=,=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:и легко находим:=3,=2, и частное решение=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =3,=2.

7). Частное решение для исходного уравнения: =+. Общее решение:=+

Ответ:=++.

Пример 5–366: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни=1– кратность корня 3. Построим ФСР:=,==.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число совпадает с характеристическими корнями ,и, получаем=. Остается найти неопределенный коэффициент.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=,=,=. Подставив,,ив уравнение, получим тождество:

–3+3=,

откуда находим значения: и записываем=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: . Наличие трёх тождеств типа: ожидалось (согласно теории систем линейных уравнений для случая, когда решение обязательно есть и единственное).

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+.

Ответ: общее решение:=+.

Пример 6–368: Решить линейное неоднородное уравнение: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=–1,=1,=. Построим ФСР:=,=,=,=. Общее решение однородного уравнения:.

2). Правая часть имеет вид: =+– сумма специальных → воспользуемся свойством «аддитивности».

3). Для специальной функции =→ число=→ можно сразу записать функцию:=. Обнаруживаем совпадение числас корнем, корректируем запись функции:=.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:–=, откуда легко находим:=,=– и частное решение=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =,=–. Наличие одного тождества типа:ожидалось (согласно теории систем линейных уравнений для случая, когда решение обязательно есть и единственное).

5). Для специальной функции =→ число=→ можно сразу записать функцию:=. Числосовпадает с корнем, корректируем запись функции:=.

6). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:=и легко находим:=0,=–, и частное решение=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =0,=–. Ожидалось наличие двух тождеств типа: (для однородных членов, содержащих множителии), но они взаимно уничтожились.

7). Частное решение для исходного уравнения: =+. Общее решение:=+

Ответ:=+.

☺☺

Пример 7–370: Решить линейное неоднородное уравнение: , , .

Решение:

0). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число .

1). Найдем характеристические корни: уравнение → корни=0,=2. Построим ФСР:=1,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: .

3). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что число не совпадает с характеристическими корнямии, получаем=.Остается найти неопределенный коэффициент .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=,=. Подставив,ив уравнение, получим=–2 и=.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+=.

6). Решаем задачу Коши. Вычислим =и запишем систему уравнений, соответствующую заданным начальным условиям:

откуда имеем: =и=.

Ответ: частное решение:=.

Пример 8–372: Решить линейное неоднородное уравнение: , y(0)=1, =.

Решение:

1). Правая часть – специальная. Поставим ей в соответствие число =.

2). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=. Построим ФСР:=,=. Запишем:.

3). Составим выражение для частного решения: учитываем, что число не совпадает с характеристическими корнями; тогда=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество: 0+4=и легко находим:=,=0 и частное решение=.

Черновик:

а). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

б). Легко видим решение: =,=0. Наличие тождеств типа: не ожидалось, так как сразу было видно, что для вычисления двух неизвестных величин будем иметь систему двух линейных уравнений.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+=+. Используя начальные условия, легко вычисляем=1,=и соответствующее частное решение:=+.

Ответ: частное решение:=+.

Пример 9–374: Решить линейное неоднородное уравнение: , =0, =2, =4, =6.

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=–1,=1,=. Построим ФСР:=,=,=,=. Общее решение однородного уравнения:.

2). Составим выражение для частного решения. Учитывая, что для функции =число=совпадает с характеристическим корнем, получаем=.Остается найти неопределенный коэффициент .

3). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производные:=. Подставляя функциюи её производные в уравнение, получаем тождество:=8, откуда:=2 и частное решение=.

4). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+и вычислим все, необходимые производные:=,

=,

=.

5). Для заданных начальных условий получим: а) , б), в), г). Решение системы:=0. Это значит, что частное решения уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:=.

Черновик:

а). Запись системы уравнений в одну строку затрудняет её быстрое (и безошибочное) решение. Воспользуемся записью системы в виде:

б). Обозначим уравнения: ,,,.Легко заметить: 1) записав +, получаем=0,2) записав −, получаем=0, 3) учитывая ==0, из уравненияполучаем=0, 4) учитывая ==0, из уравненияполучаем=0.

Ответ: частное решение:=.

Пример 10–376: Решить линейное неоднородное уравнение: , учитывая начальные условия , .

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=. Построим ФСР:=,=.

2). Составим общее решение однородного уравнения: =+.

3). Составим выражение для частного решения: учитываем, что число =совпадает с характеристическими корнями; тогда=. Остается найти неопределенные коэффициенты.

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=,

=.

Подставляя функцию и её производную в уравнение, легко находим:=0,=2 и частное решение=.

Черновик:

а). Подставляя функцию и её производные в уравнение, получаем (после деления на) тождество:−

−2+

+2=.

б). На основании записи тождества необходимо произвести приравнивание коэффициентов правой и левой частей при однородных членах:

в). Из уравнения : получаем=2, из уравнения: получаем=0.Из уравнения : получаем тождество, вычитая из уравненияуравнение: получаем тождество(что можно было предполагать, вспоминая метод Гаусса).

Замечание. То, что в основном тексте объявлена лёгкость вычисления величин и , теперь можно воспринимать как шутку!..

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+. Используя начальные условия, легко вычисляем=,=и соответствующее частное решение:=+, или=.

Черновик:

а). Используя начальные условия, запишем:

=++=→=,

=++=

=→=.

б). Записываем частное решение: =.

Замечание. И здесь, объявленная в основном тексте лёгкость вычисления величин и требует внимательной (и громоздкой) работы с тождественными преобразованиями и вычислениями!..

Ответ: частное решение:=.

Вопросы для самопроверки:

1. Чем отличается неоднородное линейное уравнение от уравнения однородного?

2. Как получают общее решение неоднородного линейного уравнения?

3. Что такое частное решение неоднородного уравнения?

4. Что такое «метод вариации произвольных постоянных»?

5. Как записывают , если =?

6. Как записывают , если =?

7. Как записывают , если =?

8. Как записывают , если =?

☺☺

ЗАНЯТИЕ 11. Метод вариации постоянных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Уравнение Эйлера.

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 342, 344, 377, 378, 280.

5

☺ ☻ ☺

Общее о применении метода вариации постоянных величин:

Пусть задано линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с коэффициентами, зависящими от переменной :.

Для неоднородного уравнения записывают соответствующееемуоднородноеи находят егообщее решение:=, где функции и независимые решения однородного уравнения. После этого (как и в случае линейного неоднородного уравнения 1-го порядка) произвольные постоянные величиныиобъявляютсянекоторымифункциямипеременнойс требованием, чтобы функция=была решением неоднородного уравнения!

В соответствии с определением решения, вычислим производную объявленной функции-решения:=. (4)

Так как в выборе функций иесть определённые произвол, потребуем от этих функций выполнения требования:=0. С учётом этого требования, вычислим производнуюдля объявленной функции:=. Подставим в исходное уравнение выражения для функций,,:

++=. (5)

Потребуем от искомой функции выполнения условия: =. Объединив требования, запишем систему уравнений:(6)

Как следует из записи (6), требования к функциям ипреобразовались в требования к их производным:и, которые должны удовлетворять системе линейных уравнений. Возможно ли выполнение таких сложных требований?

Так как функции и – независимые решения однородного уравнения, то определитель Вронского: =0. Это значит, функции и будут вычислены (например, по правилу Крамера) однозначно. Для нахождения функций и остаётся вычислить интегралы:

=+,=+. (7)

В выражении (7) величины и являются произвольными постоянными интегрирования. Используя (7), запишем, полученное методом вариации произвольных постоянных величин, общее решение исходного, неоднородного, уравнения:

=++. (8)

или: =+=y₁+y₂+. (9)

Вывод: Для решения неоднородного дифференциального уравнения методомвариации произвольных постоянных величиннеобходимо реализовать как действия Этапа– найти общее решениеоднородного уравнения, так и действия Этапа– вычисление. Требования к совокупности функцийи(линейная независимость!) гарантируют вычислениеи построение общего решения заданного уравнения=+!

••• ≡ •••

Пример 1–342: Решить дифференциальное уравнение: методом вариации произвольных постоянных величин.

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=–1,=–2. Построим ФСР:,. Составим общее решение однородного уравнения:=.

2). Составим систему уравнений: или:Её решение:==,==–. Интегрирование выражений для функцийидостаточно просто, получаем:=,=.

Черновик:

а). Обозначим уравнения системы: ,. Если записать: 2+, сразу получаем уравнение с одной неизвестной:=, откуда==. Обозначив:=, вычислим=. Тогда===, где=.

б). Если записать: +, получаем:=, откуда==. Обозначив:=, вычислим=. Тогда вычисление функцииочевидно и просто:====, где=.

3). Запишем решение: =+=+, получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

=+=++.

.

Так как слагаемое можно включить в слагаемое(свойство произвольной постоянной величины), окончательно запишем:.

Ответ: общее решение:.

Пример 2–344: Методом вариации постоянных величин решить ДУ: =.

Решение:

1). Найдем характеристические корни уравнения: уравнение → корни=1 – кратный корень. Построим ФСР:=,=. Запишем=.

2). Составим систему уравнений: или:Её решение:==,==. Интегрирование выражений для функцийидостаточно просто, получаем:=,=.

Черновик:

а). Обозначим уравнения системы: ,. Если записать:−, сразу получаем уравнение с одной неизвестной:=, откуда==. Вычислим функцию:===.

б). Из уравнения получаем:==. Тогда вычисление функцииочевидно и просто:===.

3). Запишем решение: =+=+, получим общее решение:=+=++.

Ответ: общее решение:.

☺☺

Общее о решении уравнений Эйлера:

До сих пор мы рассматривали линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Представляет интерес рассмотреть уравнение с переменнымикоэффициентами специального вида:, (1)

где - постоянные числа;q(x) – заданная функция; каждый коэффициент уравнения – степенная функция, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит. Такое уравнение называют уравнением Эйлера. Для решения уравнения (1) используют два способа.

Способ-1. Используется подстановка: а), если; б), если.

Так как и, то. Используя формулы вычисления производных для функций, заданных в параметрической форме, можем записать:

(2)

Так как особенности решения уравнения Эйлера вполне проявляются при решении уравнения 3-го порядка, примем . Подставим производные (2) в уравнение (1) для случая, причём, для лучшей читаемости дальнейших выражений, в записи производных не станем применять индексt:,

или окончательно: .(3)

Замечание: 1). При решении конкретного уравнения Эйлера 3-го и 2-го порядков не следует каждый раз получать формулу (3) заново.

2). В записи уравнения 3-го порядка использование коэффициента позволяет получать результаты для уравнения 2-го порядка призначении.

Уравнение (3) является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Его решение ищут в виде по известному алгоритму. Для записи окончательного выражения решения исходного уравнения используют замену:.

Способ-2. Применяется подстановка: . В этом случае вычисление необходимых производных совсем просто:Подставляя эти производные в уравнение (1) для случаяполучаем, после деления на общий множитель, уравнение:

. (4)

Легко заметить, что уравнение (4) для уравнения (3) можно считать характеристическим, хотя получено оно для других целей.

При решении алгебраического уравнения (4) в общем случае получим действительные и комплексные корни. Пусть =. Учитывая:=, запишем=, или=→=и=. (5)

Если уравнение Эйлера неоднородное, для применения Способа-1 необходимо переписать правую часть:.

Пример 3–377: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: . В нашем случае:,. Используя формулу (3), получаем:→.

1). Из характеристического уравнения имеем:=и ФСР:=,=.

2). Общее решение: =, где.

Ответ: общее решение уравнения:=, где.

Способ-2.

0). Применим подстановку: . Учитывая результаты применения Способа-1, сразу записываем уравнение:и вычисляем:=.

1). Учитывая (5), записываем ФСР: =и=.

2). Общее решение: =.

Ответ: общее решение уравнения:=.

Замечание: обратим внимание на особенности применения второго способа в связи с преобразованием (5) для случая комплексных корней!

Пример 4–378: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

Способ-1.

0). Применим подстановку: =. В нашем случае:,. Используя формулу (3), получаем:→, правая часть функция:=– специальная. Ей соответствует число:=.

1). Из уравнения имеем:=и ФСР:=,=.

2). Общее решение однородного уравнения: ==, где.

3). Составим выражение для частного решения . Учитывая, что число=не совпадает с характеристическими корнямии, получаем=.Остается найти неопределенный коэффициент .

4). Так как должно быть решением заданного неоднородного уравнения, найдем производную:=,=. Подставив,ив уравнение, получим=2 и=.

5). Составим общее решение неоднородного уравнения: =+=+. Учитывая выражение, запишем:=+.

Ответ: общее решение уравнения:=+.

☺☺

Пример 5–280: Доказать теорему: если есть частное решение линейного однородного уравнения , то функция = тоже является решением этого уравнения, а функция = есть его общее решение.

Решение:

Замечание: Этот Пример предполагает наличие у успешно сдавшего ЕГЭ системы знаний по предмету, умения рассуждать и хорошей памяти!..

1) Для осознанного решения задачи необходимо студент должен вспомнить:

 Определение неопределённого интеграла: если , то.

 Правило вычисления производной сложной функции: если =, то=.

 Правило вычисления производной функции: если =, то=, если=, то=.

2). Учитывая, что громоздкие выражения многие воспринимают с трудом, введём обозначения: ==,==, ==,=. Вычислим производные обозначенных функций: ==,=, .

3). Функция будет решением заданного уравнения, если, подставив её в это уравнение, получим тождество. Вычислим:=+=+=+. Имея производную, вычислим вторую производную:

=+=+––=

=–(польза принятых обозначений очевидна).

4). Подставим и её производные в заданное дифференциальное уравнение:

–+++.

Тождество получено с учётом, что функция есть решение заданного уравнения (и здесь очевидна пользапринятых обозначений).

5). Так как функции иесть решения заданного уравнения и линейно независимы (это видим из записи для функции), то можем записать общее решение:=(применяем известную теорему).

Замечание: Этот Пример слишком сложен даже для успешно сдавшего ЕГЭ. Применение компактных обозначений значительно снижает нагрузку на образное мышление, но требует неторопливой работы преподавателя с аудиторией:понять должны все!..

Ответ: теорема доказана.

Вопросы для самопроверки:

1. Чем отличается неоднородное линейное уравнение от уравнения однородного?

2. Как получают общее решение неоднородного линейного уравнения?

3. Что такое частное решение неоднородного уравнения?

4. Что такое «метод вариации произвольных постоянных»?

5. Что такое уравнение Эйлера?

6. Какие стандартные способы решения однородного уравнения Эйлера?

7. Какие стандартные способы решения неоднородного уравнения Эйлера?

☺☺

ЗАНЯТИЕ 12. Контрольная работа №2 по теме «Дифференциальные уравнения высшего порядка».

☺ ☻ ☺

Контрольная работа №2 предназначена оценить степень усвоения основных понятий теории Дифференциальных уравнений и способов решения простейших типов ДУ высшего порядка:

• Уравнения, допускающие понижение порядка.

• Понятие линейной зависимости совокупности функций и ФСР.

• Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: все случаи их правой части.

• Метод вариации произвольных постоянных. Уравнение Эйлера

Состав и степень трудности предлагаемых в Контрольной работе заданий согласовывается с Методическим советом кафедры «Высшая математика».

При разработке заданий Контрольной работы учитывается также требование побудить студентов повторить пройденный материал по предмету. Это значит, что в заданиях не должно быть ничего такого, что, так или иначе, требует самостоятельных обобщений и выводов со стороны студентов.

Перед выполнением Контрольной работы студенты должны ознакомиться с перечнем вопросов, которые будут отражены в заданиях. Также важным элементом подготовки к контрольной работе должны быть регулярные текущие контрольные мероприятия в виде оперативных опросов: по 6-7 минут в начале каждого занятия.

(продолжение следует)

•• ☻☻ ••