Аналогично λA = λ A. Нетрудно проверить, что все аксиомы

линейного пространства будут выполнены, причем роль нулевого элемента в Z(X,Y) играет оператор 0. Ясно, что A=0 лишь в случае A=0. Этот

последний факт вместе с предыдущим показывает, что множество Z(X,Y) является нормированным пространством, если за норму элемента A Z(X,Y) принять норму оператора A:

A= sup | Ax | .

||x||=1

Частный случай у нас уже рассматривался, когда Y = C (или R ); тогда Z(X,Y) являлось пространством ограниченных функционалов, называлось сопряженным пространством и обозначалось Χ′. Было доказано, что Χ′ всегда полно. Это утверждение является частным случаем следующей теоремы.

Теорема 4.9. Если Y полно, то Z(X,Y) полно.

Доказательство. Проводится аналогично рассуждению в теореме 4.7. Рассмотрим подробнее Z(X).

Утверждение 4.2. Если A, B Z(X), то AB Z(X) и

(это означает, что Z(X) – нормированная алгебра) .

Доказательство. ( AB)x = A(Bx) ≤ ABx ≤ ABx, следовательно,

AB Z(X) и AB ≤ AB .

Замечание 4.12. Если Х полное, то по теореме 4.9 Z(X) тоже полное. В этом случае Z(X) является банаховой алгеброй

Замечание 4.13. Неравенство (4.5) нельзя, вообще говоря, заменить равенством даже в случае конечномерных пространств, так как произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей. Можно показать, что если в комплексной нормированной алгебре Z(X) = AB = AB при любых А и

В, то Z(X) изометрически изоморфно полю комплексных чисел.

Упражнения

1) Определение нормы в Z(X,Y) зависит, очевидно от норм в X и Y. Показать, что при замене норм в X и Y эквивалентными нормами новая норма в Z(X,Y) будет эквивалентна старой.

2) Доказать «принцип (Банаха) открытости отображения»: если А линейный непрерывный оператор, отображающий банахово пространство Х

Произвольное нормированное пространство Х называетсянормированной алгеброй, если введена операция умножения (вообще говоря, некоммутативного), удовлетворяющая следующим условиям:

1.α(xy) = (αx)y = x(αy)

2.(xy)z = x(yz)

3.(x+y)z = xz+yz

4.x(y+z) = xy + xz

5.xy ≤ x y для любых элементов x,y,z X любых чисел α. ЕслиХ – полное нормированное

пространство, то нормированная алгебра называется тогда банаховой алгеброй.

66

на все банахово пространство Y, то образ каждого открытого множества в Х является открытым множеством в Y.

67

График оператора. Замкнутые операторы. Признаки ограниченности оператора.

Определение 4.16. Прямой суммой Х+Y двух банаховых пространств Х и Y называется совокупность пар z=(x,y), где x X, y Y, в которой операции сложения, умножения на число и норма определяются следующим образом:

α z ={αx, αy} при z={x,y};

z1+z2 = {x1+x2 ,y1+y2} при z1={x1,y1}, z 2 ={x2,y2} ;

z = x + y при z={x,y}.

Нетрудно проверить, что все аксиомы нормированного пространства выполнены, и что пространство Х+Y – банахово. Таким образом, определение любой суммы можно распространить на любое конечное число пространства.

Замечание 4.14. Норму можно ввести по-другому, например:

В силу непрерывности А имеем Axn →Ax. Поэтому y=Ax.

Теорема 4.12. Если А ограничен, DА=Х и А-1 существует, то А-1 замкнут.

Доказательство. Так как А ограничен и всюду определен, то он замкнут, следовательно, ввиду теоремы 4.10, оператор А-1 замкнут.

Пример замкнутого неограниченного оператора.

68

Пусть X = Y = l2 , x = {ξn }1∞ , Аx = {λnξn }1∞ , где λn →0, λn ≠ 0. Оператор А ограничен. Действительно,

Теорема 4.13. Пусть А – замкнутый оператор из банахова пространства Х в банахово пространства Y. Пусть существует множество Х’

кроме того, x0 − x1 ≤ x0 − x′+x′− x1 ≤ εx0 +εx0 = 2εx0 .

Отсюда видно, что (4.5) получается при ε = 14 .

Применим то же рассуждение к х0 – х1: существует х2 Х’ такой, что

Проводя последовательно это рассуждение, на n-ом шаге получим, что

Ax0 ≤ Ax1 +... + Axn +... ≤ Cx0 (1+ 12 +... 21n +...) = 2Cx0 .

69

Теорема доказана.

Приведем без доказательства еще одно свойство замкнутого оператора в банаховом пространстве.

Теорема 4.14. (Банаха о замкнутом графике).

Пусть А – замкнутый оператор из банахова пространства Х в банахово пространство Y. Если А определен на всем Х, то А ограничен.

Теорема 4.15. (Банаха об обратном операторе). Если А – замкнутый оператор из банахова пространства Х в банахово пространство Y, отображающий Х на Y взаимно однозначно, то оператор А-1 существует всюду, определен и ограничен.

Доказательство. В силу взаимной однозначности А оператор А-1 существует. Он замкнут (теорема 4.10) и определен на всем Y, следовательно, по теореме 4.14, ограничен.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть на некотором линейном пространстве Х заданы две

Доказательство. Обозначим через X - пространство Х с нормой x, а через Х1 – пространство Х с нормой x 1. Определим оператор А из Х1 в Х : Ах = x; равенство x ≤ x1 означает, что А ограничен и A ≤1. Очевидно, что

А замкнут (т.к. ограничен и DA= X) и отображает Х1 на Х взаимно однозначно. По предыдущей теореме А-1 существует и ограничен, то есть

x1 = A−1x1 ≤ Cx.

Теорема доказана.

Теорема 4.16. (Банаха об ограниченности предела последовательности ограниченных операторов). Пусть Аn последовательность всюду определенных ограниченных операторов банахова пространства Х в Y. Если

Аn x сходится для каждого х Х, то есть, для каждого х Х существует lim An x

n→∞

, то последовательность норм An ограничена.

Доказательство. Нужно доказать, что An ≤С , или что An x ≤С при x ≤1 для некоторого С>0. Нам достаточно показать, что существует шар, в котором последовательность An xограничена. (Действительно, пусть при

70

Следовательно z S(x0 ,r) . По предположению тогда An z ≤С1. Но y = 1r (z −x0 ) . Таким образом, An y ≤ 1r ( An z + An x0 ) ≤ Cr1 + Anrx0 ≤ 2Cr 1 . Следовательно, последовательность An xограничена в единичном шаре).

Предположим теперь противное. Возьмем какой-нибудь шар S . По предположению, последовательность на нем неограниченна, то есть

непрерывен, то существует такой шар S1 , с центром в х1 и радиусом r1<1, что

An1 x > 1 при х S1 , и S1 S .

Возьмем ту часть последовательности, которая следует за n1. Она снова не ограничена ни на каком шаре, в том числе и на S1. Значит,

расходится, а по условию Аn x0 сходится; полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие 1. Из теоремы следует, что An x ≤ C x для всех x Х . В пределе при n →∞ получаем, что Ax ≤ Cx, то есть, что оператор А, определенный равенством

Ах= lim Anx

n→∞

ограничен.

Следствие 2. В случае когда Y – пространство действительных или комплексных чисел, мы получаем следующее утверждение: если последовательность функционалов {fn(x)} сходится для каждой х Х, то последовательность их норм ограничена.

Пусть А – оператор из банахова пространства Х в банахово пространство Y, и пусть функционал f Y'. Пусть DА=Х.

Рассмотрим выражение вида f (AX). При фиксированном f это функционал f ′ от x. Может случиться, что f ′ не ограничен. На совокупности

тех f, для которых f ′ ограничен, определим оператор A′, полагая

71

2.( A′f,x)=(f,Ax) для f DА’

Пусть А ограничен. Тогда для любого f Y ′

f ( Ax) ≤ f Ax ≤ f Ax

читателю), что:

1.(αA)′ =αA′,

2.( A + B)′ = A′+ B′,

3.( AB)′ = B′A′.

Упражнения.

1)Показать, что аддитивный замкнутый оператор А из Х в Y, заданный на пространстве DА, необходимо однороден.

2)Доказать, что линейный ограниченный на DА оператор А замкнут тогда и только тогда, когда замкнута его область определения DА. Доказать, что линейный замкнутый оператор А из банахова пространства Х в

банахово пространство Y ограничен на DА тогда и только тогда, когда DА замкнуто. Следовательно, класс линейных всюду определенных замкнутых операторов совпадает с классом линейных всюду определенных ограниченных операторов.

72

3)Доказать, что оператор дифференцирования Ax(t) = x′(t) в Х=Y=С(а,b) с

DА – множеством всех x(t) X, для которых x(t) X –является замкнутым неограниченным оператором.

4)Пусть А1 и А2 – замкнутые линейные операторы, действующие из банахова Х в банахово Y, причем DA1 DA2 . Доказать, что существует

5)Пусть А – аддитивный (возможно, неоднородный) произвольный

оператор, у которого DА – подпространство. Доказать, что у А существует обратный оператор тогда и только тогда, когда из Ах=0 следует х=0

6)Пусть А – произвольный (возможно, неограниченный) линейный

оператор из DА Х в RA Y. Доказать, что у него существует обратный оператор А-1 ограниченный на DA−1 = RA , тогда и только тогда, когда существует такая постоянная m>0, что при любом х DА имеет место mx ≤ Ax. Точная верхняя грань таких m равна обратной величине нормы оператора А-1 на DА-1.

7)Если А и обратный к нему линейны и ограничены, а область определения DА замкнута, то и RA замкнута.

8)Если А – линейный всюду определенный ограниченный оператор, то

рефлексивное пространство, то A′′ = A.

9)Доказать, что каждое ограниченное множество E Z(X,Y) является равномерно равностепенно непрерывным множеством операторов из Х в Y в том смысле, что для любого ε>0 существует такое δε>0, что при

любом А Е и любых х и у, у которых x − y < δε имеет место неравенство Ax − Ay < ε.

10)Пусть Х и Y – банаховы пространства и Е Z(X,Y) — некоторое

семейство операторов: E={Aα}. Доказать , что следующие три условия эквивалентны:

1.sup( Aα )= γ < ∞;

α

73