Раздел III. Аналитическая статистика

Тема 5. Показатели вариации

Методические указания

Исследование вариации является составным элементом статистического анализа, позволяющим оценить колебания значений изучаемого признака, однородность совокупности по данному признаку, взаимосвязь его с другими признаками. Показатели вариации служат критерием типичности рассчитанных по совокупности средних величин, используются в определении ошибок выборочных характеристик.

При изучении данной темы необходимо обратить особое внимание на расчет основных показателей вариации - дисперсии ( s 2 ), среднего квадратического отклонения ( s ), среднего линейного отклонения (d), коэффициента вариации (V) - по первичным и сгруппированным данным (рядам распределения). Во втором случае применяются не простые, а взвешенные формулы соответствующих показателей.

Рассмотрим вычисление показателей вариации на следующем примере:

Таблица 8

Распределение предприятий торговли района по размеру торговой площади

Группы предприятий по размеру торговой площади, м 2	Число пред-прия- тий fi	Сере – дина интер – вала Xi	Xifi
1	2	3	4	5	6	8
до 100	35	50	1750	185	6475	1197875
100-200	74	150	11100	85	6290	534650
200-300	119	250	29750	15	1785	26775
300-400	46	350	16100	115	5290	608350
400 и более	27	450	12150	215	5805	1248075
ИТОГО	301	х	70850	615	25645	3615725

Заполнению последних четырех граф данной таблицы предшествовал расчет средней величины изучаемого признака, выполненный по формуле средней арифметической взвешенной:

м²

Вычислим показатели вариации:

м²

м²

м

Статистическую совокупность можно считать однородной по 0.рассматриваемому признаку, если коэффициент вариации не превышает 33%.

При формулировке выводов о степени вариации следует обратить внимание на то, что коэффициент вариации является относительной мерой колеблемости и может приводить к результатам, противоположным полученным на основе абсолютных показателей вариации. Так, например, если в первом цехе дисперсия выработки деталей работниками при средней выработке х₁=140, а во втором цехе эти показатели соответственно и х₂=170, то абсолютная вариация будет сильнее во втором цехе (), а относительная в первом:

и

Наибольшую трудность в изучении данной темы представляет расчет общей дисперсии по правилу сложения дисперсий:

,

где - средняя из внутригрупповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

Правило сложения дисперсий может быть применено только в том случае, когда совокупность разбита на две или более группы по какому-либо факторному признаку, предположительно оказывающему влияние на вариацию исследуемого результативного признака.

Вариация признака внутри групп определяется воздействием всех прочих факторов и отражается в величине средней из внутригрупповых дисперсий. Тесноту связи между факторным и результативным признаками оценивают с помощью эмпирического корреляционного отношения:

Данный показатель может принимать значения от 0 до 1.

На следующем условном примере исследуем зависимость между собственными и привлеченными средствами коммерческих банков региона:

Таблица 9

Банк	Собственные средства, млн. руб.	Привлеченные средства, млн. руб.
1	70	300
2	90	400
3	140	530
4	110	470
5	75	255
6	150	650
7	90	320
8	60	240
9	95	355
10	115	405

Произведем группировку банков, выделив две группы по величине собственных средств брутто до 100 млн. руб. и свыше 100 млн. руб., и проанализируем влияние данного группировочного признака (фактора) на размер привлеченных средств. Первая группа объединит коммерческие банки N-N 1, 2, 5, 7, 8, 9, во вторую группу войдут N-N 3, 4, 6, 10.

Расчет эмпирического корреляционного отношения состоит из нескольких этапов:

1) рассчитываем групповые средние и общую среднюю по результативному признаку - привлеченные средства (i - номер группы, j - номер единицы в группе):

;

2) рассчитываем внутригрупповые дисперсии:

;

;

3) вычисляем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

4) определяем межгрупповую дисперсию:

;

5) находим общую дисперсию по правилу сложения:

;

6) рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение:

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор, положенный в основание группировки (собственные средства брутто), существенно влияет на размер привлеченных средств.

Контрольные вопросы

1. Чем порождается вариация признака?

2. Какими абсолютными показателями измеряется вариация?

3. Что такое дисперсия и как она вычисляется?

4. Что характеризует среднее линейное отклонение?

5. Какие выводы можно сделать на основе коэффициента вариации?

6. В чем смысл правила сложения дисперсий?

7. Можно ли с помощью эмпирического корреляционного отношения оценить тесноту связи между качественными и количественными признаками?

Задание для самостоятельной работы

Задача 1. В целях контроля качества выпускаемых предприятием электроламп на стенде выполнены замеры продолжительности горения 500 ламп, которые привели к следующим результатам:

Продолжительность горения, час.	1700	1800	1900	2000	2100	2200
Число ламп, шт.	36	85	164	135	68	12

Определите: 1) размах вариации; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) среднее линейное отклонение; 5) коэффициент вариации.

Ответы: 1) 500 ч.; 2) 13980; 3) 118 ч.; 4) 97 ч.; 5) 6,1%.

Задача 2. С помощью эмпирического корреляционного отношения оцените взаимосвязь между возрастом и числом дней временной нетрудоспособности работников предприятия:

Число дней временной нетрудоспособности (за год)	Число работников в возрасте
	до 40	40 и более
до 10	8	2
10-20	12	16
20-30	3	23
30 и более	-	18

Ответ: ; ; .