Глава 1. Алгебра матриц

1.1. Матрицы. Основные определения

Матрицей А= ()называется прямоугольная таблица чисел, содержащаяm строк иn столбцов:

Числа (), составляющие данную матрицу, называются её элементами;i– номер строки матрицы,j– номер столбца.

Если m=n, то матрица называется квадратной порядкаn.

Например, – квадратная матрица третьего порядка.

Про элементы такой матрицы говорят, что они стоят на главной диагонали.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю:

,

например, – треугольная матрица третьего порядка

Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы, в которых все диагональные элементы равны, т.е. ,, называются скалярными матрицами.

Если , то скалярная матрица называется единичной и обозначается буквойЕ, т.е.:

.

Например, матрицы А,B,Eявляются соответственно диагональной, скалярной и единичной третьего порядка.

,,.

Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е.

Например, – симметрическая матрица четвертого порядка.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, – вектором-столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается О.

Например, О–нулевая матрица размера два на три.

1.2 Действия над матрицами

Две матрицы иназываются равными,А=В, если их соответствующие элементы равны, т.е.=,

Суммой двух матрициназывается матрицаC=A+B, элементы которойс_ijравны сумме соответствующих элементовa_ijиb_ijматрицAиB, т.е.. Например,

,,.

Для суммы матриц справедливы следующие свойства:

1. A+B=B+A– коммутативность;

2. A+(B+C)=(A+B)+C– ассоциативность;

3. A+О=A.

Произведениемматрицына число называется матрица, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицыAна число, т.е.. Например, если, а матрица, то.

Пусть A, B, C – матрицы, – числа. Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:

1. , 4. ,

2. , 5. ,

3. О, 6. .

Матрица называется противоположной матрицеA.

Если матрицы AиBодинаковых размеров, то их разность равна.

Произведением матрицыA=(a_ij)порядкана матрицупорядканазывается матрицапорядка, элементы которойсравны:

, (; ).

Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки иj-го столбца матрицыС, необходимо элементыi-ой строки матрицыАумножить на соответствующие элементыj-го столбца матрицыВи полученные произведения сложить.

Произведение АВимеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицыАравно числу строк матрицыВ.

В результате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов – с числом столбцов второго сомножителя.

Для произведения матриц справедливы следующие свойства:

1. A(BC) = (AB)C	3. (A + B)C = AC + BC
2. (AB) = (A)B	4. C(A+B) = CA + CB

Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений.

Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВВА. В случае прямоугольных матриц легко подобрать примеры, когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя, стоящего первым, числу строк второго сомножителя. Очевидно, что для квадратных матриц порядкаnсуществуютАВиВА. Однако для всехn, начиная сn=2, можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц.

Пример.Найти произведениеАВиВАматриц:

А=,В=.

Решение.

;

Пример.Найти произведение матриц А и В.

,.

Решение.

Если АВ=ВА, то матрицы иВназываются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причемАЕ=ЕА=А.

Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы, стоящего на ее главной диагонали, на единичную матрицу того же порядка:

А=Е.

Легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно.

Квадратную матрицу Аможно возвести в степеньn, для чего ее надо умножить на саму себяnраз, т.е..

Транспонирование матрицы– это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами:

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами, которые следуют из определения:

1. (А)=А;

2. (А+В)=А+B;

3. (AB)=BA.

Если матрица А – симметрическая, то А=А, т.е. симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной.

Очевидно, что произведение С=ААпредставляет собой симметрическую матрицу. Действительно,

С= (АА)=(А)А=АА=С.

При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка, С же будет квадратной, порядка, соответствующего числу строк матрицы А.

В различных приложениях используется понятие нормы матрицы.

Под нормой матрицы А=понимается действительное число ||A||, удовлетворяющее условиям:

а) ||A||0, причем ||A|| = 0 тогда и только тогда, когда А=О;

б) ||A||=||||A||, (– число) и, в частности ||-A||=||A||;

в) ||A+B||||A||+||B||;

г) ||AB||||A||||B||,

где А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл.

Для матрицы А=(а)произвольного типа рассматриваются главным образом три вида норм:

1) ||A||=	(m– норма);
2) ||A||=	(l– норма);
3) ||A||=	(k– норма).

Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям.