6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение

Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы видаА*= Т^-1АТ, гдеТ– любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем|A|=|A*|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей Арассмотрим матрицу

,

которая образована из Азаменой диагональных элементовa_ijэлементами, где– произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент приравен (-1)ⁿ). Многочлен называется характеристическим многочленом матрицыА.

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , гдеА*=Т^-1АТ.

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т^-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрицематрицыА*иЕсоответственно наТ^-1АТиТ^-1ЕТ, получаем:

.

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен .

Алгебраическое уравнение n-й степениназывается характеристическим уравнением матрицыА, а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – следk-го порядка матрицыА.

Следом k-го порядканазывается сумма возможныхглавных миноровk-ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет nне обязательно различных корней. Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:

,

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный операторзадан матрицейА. Тогда коэффициентывычисляются по следующей схеме:

Пример.Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение.Характеристическое уравнение имеет вид

где

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

или откуда– собственные значения линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли.Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство.Рассмотрим многочлен

.

(6.2.1)

Пусть матрица Вявляется присоединенной к матрице. Тогда имеем

.

(6.2.2)

Элементами матрицы Вявляются многочлены отстепени не выше (n-1). Поэтому матрицуВможно представить в следующем виде:

(6.2.3)

Подставляя выражения матрицы Виз (6.2.3) и многочленаиз (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим

или

(6.2.4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на и сложим полученные результаты:

или

,

откуда следует, что . Теорема доказана.

Пример.Линейный операторзадан матрицей

.

Найти и показать, что.

Решение.Составим матрицу

Многочлен имеет вид

.

Тогда

.

6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора

Пусть в пространстве задан линейный оператор.

Определение.Ненулевой вектор, удовлетворяющий соотношению, называется собственным вектором, а соответствующее число– собственным значением оператора.

Из данного определения следует, что образом собственного вектора является коллинеарный ему вектор.

Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора .

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число. Предположим обратное: пусть собственному вектору операторасоответствуют два собственных числа. Это значит, что

,

.

Но отсюда следует, что

Так как по условию – ненулевой вектор, то.

2. Если и– собственные векторы операторас одним и тем же собственным числом, то их сумматакже является собственным вектором операторас собственным числом. Действительно, так каки, то

.

3. Если – собственный вектор операторас собственным числом, то любой вектор, коллинеарный вектору, также является собственным вектором операторас тем же самым собственным числом.

Действительно,

.

Таким образом, каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов оператора, соответствующих одному и тому же собственному числу, образует пространство, которое является подпространством пространства.

Докажем теорему о существовании собственного вектора.

Теорема.В комплексном линейном пространствекаждый линейный операторимеет, по крайней мере, один собственный вектор.

Доказательство. Пусть – линейный оператор, заданный в пространстве, а–собственный вектор этого оператора с собственным числом, т.е.. Выберем произвольный базиси обозначим координаты векторав этом базисе через. Тогда, если– матрица операторав базисе, то, записывая соотношение в матричной форме, получим

где .

(6.3.1)

В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид

(6.3.2)

Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда . Отсюда следует, что собственное число линейного оператораявляется его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа линейного оператора и соответствующего ему собственного векторасводится к решению характеристического уравнения. Пусть– различные корни характеристического уравнения. Подставив какой-нибудь кореньв систему (6.3.2), найдем все ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу. Если ранг матрицыравенrиr<n, то существуетk=n-rлинейно независимых собственных векторов, отвечающих корню.

Пример.Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение.Составим характеристическое уравнение

,

или откуда.

Подставляем корни в систему (6.3.1). Найдем собственные векторы оператора.

При имеем

.

Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид . Найдем два линейно независимых решения:

.

Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям , имеют вид

,

где с– произвольное действительное число, отличное от нуля.

При имеем

.

Общее решение данной системы имеет вид

Собственный вектор, соответствующий собственному значению , равен

.

Теорема.Пусть собственные значенияоператорапопарно различны. Тогда отвечающие им собственные векторылинейно независимы.

Доказательство.Используем метод индукции по числу переменных. Так как– ненулевой вектор, то приp=1 утверждение теоремы справедливо.

Пусть утверждение теоремы справедливо для m<pвекторов. Присоединим к этим векторам вектори допустим, что имеет место равенство

(6.3.3)

Используя свойство линейного оператора, получим

(6.3.4)

Так как , -собственные векторы, тои поэтому равенство (6.3.4) можно переписать следующим образом:

(6.3.5)

Умножим (6.3.3) на и вычтем из (6.3.5), получим

(6.3.6)

По условию все , различны, поэтому. Система векторов– линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что. Тогда из (6.3.3) и из условия, что– собственный вектор (), получаем. Это означает, что– система линейно независимых векторов. Индукция проведена. Теорема доказана.

Следствие:если все собственные значенияпопарно различны, то отвечающие им собственные векторыобразуют базис пространства.

Теорема.Если в качестве базиса пространствапринятьnлинейно независимых собственных векторов, то операторув этом базисе соответствует диагональная матрица

.

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор и базис, составленный из собственных векторовэтого пространства. Тогда, где– координаты векторав базисе.

Применяя к вектору оператор, получимили.

Так как , – собственный вектор, то.

Тогда

(6.3.7)

Из (6.3.7) имеем

, , ………… .

(6.3.8)

Равенства (6.3.8) означают, что матрица линейного оператора в базисеимеет вид

.

Теорема доказана.

Определение.Линейный операторв пространствеR_nназывается оператором простой структуры, если он имеетnлинейно независимых собственных векторов.

Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных векторов оператора . Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к «растяжению» координат вектора в данном базисе.