5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5

5.1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов

евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством

,

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

5.2. Проверить, что векторы системы ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса.

5.3. Найти векторы, дополняющие систему векторов до ортонормированного базиса

5.4. Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов

5.5. Найти расстояние между двумя плоскостями

где

5.6. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать неравенство

для любых вещественных чисел .

5.7. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого заданы своими координатами

5.8. Определителем Грама векторов евклидова пространстваE_nназывается определитель

Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам процесса ортогонализации, т.е. если в процессе ортогонализации векторыперейдут в векторы, то

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл и, предполагая векторы линейно независимыми.

5.9. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в, и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в, и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.11. Линейное преобразование в базисеимеет матрицу

Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

.

5.12. Линейное преобразование в базисе

имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

5.13. Найти канонический вид Bортогональной матрицыAи ортогональную матрицуQтакую, что

5.14. Доказать, что для выполнения равенства , где– числа ивекторы, необходимо и достаточно, чтобы было или, или.

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов n-мерного пространстваR_nбыли эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матрицА иВиз координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

Глава 6. Линейные операторы

6.1. Определение линейного оператора

Определение.Оператором, отображающим векторное пространствов векторное пространство, называется функция, которая каждому векторуставит в соответствие единственный вектор, что символически записывается в виде. Векторназывается образом векторапри отображении, а вектор– прообразом вектора.

Оператор называется линейным, если:

1) для любыхиз(условие аддитивности);

2) для любого, где– произвольное число (условие однородности);

При =0 имеем, т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектораи координатами вектора. Для этого выразим векторыисоответственно через базиспространстваи базиспространства:

	(6.1.1)
	(6.1.2)

Тогда имеем

(6.1.3)

Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора достаточно задать образы базисных векторов.

Разложим каждый вектор по базисупространства:

(6.1.4)

Матрица из коэффициентов разложений имеет вид:

(6.1.5)

Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

откуда в силу единственности разложения вектора по базисуследует, что

(6.1.6)

или в матричном виде

Y=АХ

(6.1.7

где

Матрица Аназывается матрицей линейного оператора.

Рассмотрим случай, когда оператор задается в пространствеи отображает это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

и матрицей оператора является квадратная матрица.

Формулы (6.1.6) принимают вид:

Отсюда следует, что всякому линейному оператору в пространствепри выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица.

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в пространствеи матрицамиАпорядкаn.

Если , то– невырожденный оператор.

Оператор называется обратным по отношению к оператору, если:

где – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядкаn.

Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису в пространстве.

Пусть в пространстве заданы два базисаи, связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода. Тогда связь между координатами векторовив новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим

ТY*=АТХ,

откуда Y*=Т^-1АТХ*.

Обозначив матрицу оператора Ав новом базисе черезА*=Т^-1АТ, получимY*=А*Х*.

Матрица А*называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица АиА*описывают действие одного и того же операторав разных базисах.

Покажем, что матрицы АиА*подобны, то есть|А*|=|А|. Действительно,

|A*|=|Т^-1АТ|=|Т^-1||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы Алинейного преобразованияне зависит от выбора базиса в.

Примеры линейных операторов.

1. Если для каждого вектора , то операторявляется линейным и называется нулевым оператором. Так как для любого базиса, то матрицей нулевого оператораявляется нулевая матрица.

2. Если для каждого вектора , то операторявляется линейным и называется тождественным оператором. Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрицаЕ.

3. Если для каждого вектора , то операторявляется линейным и называется оператором подобия. Так как для любого базиса, то матрица оператора подобия равна.