- •Международный консорциум «Электронный университет»
- •Оглавление
- •Тема 1.
- •Цель изучения – ознакомление с различными направлениями и методологией исследования операций
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Этапы исследования операций
- •Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе
- •Тема 2.
- •Цель изучения – выработать навыки решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2.1.1. Виды матриц
- •2.1.2. Действия над матрицами
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Решение систем алгебраических уравнений
- •2.3.1. Основные понятия и определения
- •2.3.2. Формулы крамера и метод обратной матрицы
- •2.3.3. Метод жордана–гаусса
- •2.4. Векторное пространство
- •2.4.2. Размерность и базис векторного пространства
- •2.5. Решение задач линейной алгебры с помощью ms Excel
- •Тема 3.
- •3.1. Постановки задачи линейного программирования
- •3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования
- •3.1.2. Основная задача линейного программирования
- •3.1.3. Каноническая задача линейного программирования
- •3.2. Графический метод решения злп
- •3.3. Анализ решения (модели) на чувствительность
- •3.4. Решение линейных моделей Симплекс-методом
- •3.5. Двойственный симплекс-метод (р-Метод)
- •3.6. Решение злп двухэтапным Симплекс-методом
- •Тема 4.
- •Теория двойственности в линейном программировании
- •Цель изучения – получить представление о теории двойственности и осознать ее экономическую значимость.
- •4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп
- •4.2. Основные положения теории двойственности
- •Получение оптимального плана двойственной задачи на основании теоремы 4.4.
- •4.3. Решение злп с помощью Ms Excel
- •4.4. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •Тема 5.
- •Целочисленные модели исследования операций
- •Цель изучения – получить представление о специальных задачах линейного программирования, об особенностях решения зцлп.
- •5.1. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •X1, х2 0, целые.
- •5.2. Задача коммивояжера
- •Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
- •Ветвление
- •Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
- •Формирование списка кандидатов на ветвление
- •Тема 6.
- •Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Цель изучения – получить представление об особенностях решения транспортной задачи и задачи о назначении.
- •6.1. Транспортная задача линейного программирования
- •Методы составления первоначальных опорных планов
- •Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток
- •Выбор клетки, в которую необходимо поместить перевозку
- •Построение цикла и определение величины перераспределения груза
- •Проверка нового плана на оптимальность
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •6.2. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Оптимальное распределение оборудования
- •Формирование оптимального штата фирмы
- •Задача календарного планирования производства
- •Модель без дефицита
- •Модель с дефицитом
- •6.3. Задача о назначениях
- •Венгерский алгоритм
- •Оптимальное исследование рынка
- •Оптимальное использование торговых агентов
- •Глоссарий
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
5.2. Задача коммивояжера
Имеется n городов, пронумерованных числами 1, 2,..., n. Для любой пары городов (i, j) задано расстояние (время, путевые расходы) C(i,j) 0 между ними. Поэтому в общем случае C(i, j) C(j, i). Коммивояжер, выезжая из какого-либо города, должен посетить все города по одному разу и вернуться в исходный город. Необходимо определить такую последовательность объезда городов, при которой длина маршрута была бы минимальной.
Другая интерпретация этой задачи связана с минимизацией времени переналадок при обработке на одном станке партии из n различных деталей. Здесь C(i, j) – время переналадки при переходе от обработки детали i к обработке детали j. Требуется найти последовательность обработки деталей, минимизирующую общее время переналадок.
Для записи постановки задачи в терминах целочисленного линейного программирования определим переменные следующим образом: = 1, если коммивояжер переезжает изi-го города в j-й; – в противном случае. Тогда задача заключается в отыскании значений переменных , удовлетворяющих следующим соотношениям:
(5.1)
при условиях
(въезд в город j); (5.2)
(выезд из города i); (5.3)
(i j); (5.4)
xij = {0,1}, ,целые, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. (5.5)
Ограничения (5.4) требуют, чтобы маршрут образовывал контур.
Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
Допустимый маршрут х представим как множество упорядоченных пар городов:
х = .
Каждый допустимый маршрут представляет собой цикл, проходя по которому коммивояжер посещает каждый город ровно один раз и возвращается в исходный город. Каждая упорядоченная пара (i, j) является дугой маршрута. Длина F(х) маршрута х равна сумме соответствующих элементов C(i, j). Заметим, что множество всех допустимых маршрутов X содержит (n-1)! элементов.
Обозначим через матрицу расстояний. Чтобы запретить переезды вида (i,i), положим C(i, i) = +∞ (i = 1,…, n).
Пусть
.
Тогда – редуцированная матрица.
Пусть d(X) = – сумма констант редуцирования.
Тогда для любого маршрута
F(х) = =
= +d(X) ≥ d(X) (5.6)
Неравенство (5.6) показывает, что d(X) является оценкой снизу для множества Х. Кроме того, после редукции длины всех маршрутов уменьшаются на одну и ту же величину d(X) и, следовательно, оптимальный маршрут, найденный с использованием редуцированной матрицы, оптимален и для исходной задачи.
Ветвление
Процесс ветвления можно представить в виде дерева, каждая вершина которого соответствует некоторому множеству маршрутов, являющемуся подмножеством множества Х. При этом начальная вершина соответствует множеству всех маршрутов Х (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Ветвление
На каждом шаге из числа кандидатов на ветвление выбирается множество Х1 с наименьшей оценкой. Оно разветвляется на два подмножества и. Подмножествосостоит из всех маршрутов множестваХ1, содержащих некоторую выбранную на данном шаге дугу (r, s), подмножество – из всех маршрутов множестваХ1, не содержащих дуги (r,s).
Ребро дерева, соединяющее вершины Х1 и , помечается (r, s), а ребро дерева, соединяющееХ1 и , помечается.
Пусть – редуцированная матрица, соответствующая вершинеХ1. Опишем способ выбора дуги (r, s). Он основан на стремлении сделать оценку поменьше, а оценку– больше, для того чтобы увеличить вероятность выбора для дальнейшего ветвления множества. Стремление к уменьшениюприводит к выбору такой дуги (,), для которой
(,) = 0, (5.7)
поскольку все маршруты множества содержат дугу (,). Стремление же увеличить приводит к выбору среди дуг, удовлетворяющих условию (5.7), той дуги, для которой значение функции
максимально, т.е.
Смысл введения функции состоит в том, что величинаявляется оценкой снизу для длины любого маршрута изХ1, не содержащего дуги (,), так как величина выражает дополнительное расстояние, которое коммивояжер проезжает в случае, когда в маршрут не включена дуга (,).