5

ОБРАЗЦЫ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ЗА І СЕМЕСТР

І. ПРЕДЕЛЫ

1. Вычислить пределы числовых последовательностей:

2. Вычислить пределы:

3. Вычислить пределы, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых величин:

4. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

5. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, вычислить пределы:

ІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Вычислить первую производную функции:

2. Найти производную указанного порядка:

3. Найти дифференциал :

4. Найти производную функций, заданных параметрически:

ІІІ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ.

1. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой.

Составить уравнение нормали к кривой:

Составить уравнение касательной к кривой:

2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

3. Найти промежутки монотонности функции, используя признаки возрастания и убывания функции:

4. Исследовать и построить графики функций:

ІV. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ:

1. Вычислить пределы:

2. Найти частные производные функций :

3. Найти полные дифференциалы функций:

4. Вычислить приближенно:

5. Найти производную сложной и неявно заданной функции:

6. Написать первые три члена формулы Тейлора для функций:

7. Найти производную по направлению в направлении от точки к точке и , если:

V. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

1. Решение систем линейных уравнений.

А) Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера:

Б) Решить системы линейных уравнений методом обратной матрицы:

В) С помощью метода Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

VІ. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1. Решить матричные уравнения:

VІІ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

1. Простейшие задачи аналитической геометрии.

А) Даны вершины треугольника . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

Б) Дан треугольник АВС . Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

2. Скалярное произведение векторов.

А) Найти косинус угла между диагоналями (АС) и (BD) параллелограмма, если заданы три его вершины:

.

Б) Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения в положение .

В) Даны векторы , причем . Определить угол между медианой ОМ в треугольнике АОВ и стороной ОА.

3. Векторное произведение векторов.

А) Вычислить площадь треугольника с вершинами и высоту .

Б) Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам , а также удовлетворяет условию .

4. Смешанное произведение векторов.

А) Лежат ли точки в одной плоскости.

Б) В тетраэдре с вершинами вычислить высоту .

В) Компланарны ли векторы:

VІІІ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ.

1. Найти угол между плоскостями:

2. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярную плоскостям

Построить эту плоскость.

4. Написать уравнение плоскости , содержащей прямую и проходящей через точку .

5. Написать уравнение плоскости , содержащей прямую и проходящей через точку .

ІX. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

X. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ.

1. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Нарисовать эту кривую в канонических и в исходных координатах.

2. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность, заданную уравнением.

5