stat04
.pdf31
ЗАДАНИЕ С-4
Равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил
Определить в зависимости от варианта задачи реакции в подпятнике или шаровом шарнире A, подшипнике B, в заделке O, усилия в стержнях, а также силу P или натяжение нити (всего шесть неизвестных). Схемы конструкций приведены на рис.20-24, а необходимые данные - в таблице 4 (α - угол между силой P1 и плоскостью xy).
Таблица 4.
№№ |
a, |
b, |
c, |
P1, |
P2 , |
q, |
M , |
α,o |
β,o |
γ ,o |
п/п |
m |
м |
м |
Н |
Н |
Н/м |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н м |
|
|
|
||
1 |
0,6 |
1,0 |
0,5 |
50 |
30 |
20 |
100 |
60 |
- |
- |
2 |
0,2 |
1,2 |
0,8 |
40 |
50 |
10 |
50 |
30 |
15 |
- |
3 |
0,5 |
1,0 |
1,0 |
60 |
40 |
15 |
20 |
45 |
- |
- |
4 |
0,4 |
1,2 |
0,6 |
20 |
40 |
- |
60 |
30 |
30 |
45 |
5 |
0,7 |
1,0 |
- |
40 |
30 |
- |
45 |
60 |
30 |
- |
6 |
0,9 |
1,3 |
0,8 |
50 |
- |
10 |
40 |
45 |
30 |
- |
7 |
0,2 |
1,0 |
0,6 |
30 |
50 |
20 |
100 |
30 |
30 |
- |
8 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
80 |
40 |
15 |
80 |
45 |
30 |
- |
9 |
0,5 |
1,0 |
0,6 |
50 |
40 |
10 |
30 |
30 |
15 |
- |
10 |
0,6 |
1,1 |
0,5 |
30 |
60 |
30 |
80 |
60 |
30 |
- |
11 |
0,4 |
1,0 |
0,6 |
20 |
50 |
20 |
100 |
30 |
15 |
- |
12 |
0,8 |
1,2 |
1,0 |
60 |
80 |
15 |
40 |
60 |
45 |
- |
13 |
0,5 |
0,8 |
- |
50 |
40 |
- |
30 |
- |
30 |
- |
14 |
0,4 |
1,0 |
- |
60 |
- |
10 |
50 |
30 |
45 |
- |
15 |
0,6 |
0,9 |
0,2 |
30 |
10 |
- |
60 |
45 |
60 |
- |
16 |
0,2 |
1,0 |
0,4 |
40 |
14 |
20 |
70 |
30 |
15 |
- |
17 |
0,6 |
0,8 |
0,5 |
80 |
- |
30 |
40 |
45 |
30 |
- |
18 |
0,5 |
0,8 |
0,6 |
60 |
15 |
40 |
100 |
60 |
30 |
- |
19 |
0,3 |
0,6 |
0,5 |
50 |
60 |
- |
60 |
45 |
30 |
- |
20 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
40 |
30 |
- |
50 |
30 |
30 |
- |
21 |
0,5 |
0,8 |
0,4 |
50 |
100 |
15 |
50 |
45 |
15 |
- |
22 |
0,4 |
- |
1,6 |
40 |
- |
- |
60 |
30 |
15 |
- |
23 |
0,3 |
0,5 |
1,8 |
- |
- |
20 |
40 |
45 |
15 |
- |
24 |
0,5 |
0,6 |
0.8 |
50 |
- |
- |
80 |
30 |
15 |
- |
25 |
0,4 |
0,5 |
2,0 |
60 |
50 |
- |
40 |
45 |
60 |
15 |
26 |
0,5 |
0,8 |
1,2 |
50 |
40 |
20 |
60 |
60 |
15 |
- |
27 |
0,3 |
0,7 |
1,0 |
80 |
30 |
30 |
50 |
45 |
15 |
- |
28 |
0,3 |
0,8 |
1,2 |
30 |
50 |
10 |
40 |
30 |
15 |
- |
29 |
0,2 |
0,6 |
1,0 |
50 |
40 |
15 |
50 |
45 |
30 |
- |
30 |
0,3 |
0,6 |
1,0 |
40 |
50 |
20 |
30 |
60 |
15 |
- |
32
Рис. 20
33
Рис. 21
34
Рис. 22
35
Рис. 23
36
Рис. 24
37
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Дано: пластинка ABCD, P1=10 Н, Р2=20 Н, М=50 Нм, α=600, β=300, γ=450, a=1 м, b=0,8 м. Сила Р1 лежит в плоскости xBz. Нить прикреплена в точке D пластинки и точке E, лежащей в плоскости ZBY (рис.25.а).
Определить реакции в шаровом шарнире A, подшипнике B и натяжение нити в точке D.
Рис. 25
38
РЕШЕНИЕ
Выбираем правую систему координат с началом в точке B. Освобождаемся от связей и заменяем их действие реакциями. В точке A реакции шарового шар-
нира раскладываем на три составляющих X A , YA , Z A . В точке B реакцию ци- линдрического шарнира раскладываем на две составляющие в плоскости xBz ( X B , ZB ). В точке D нити Т направлена вдоль ED к точке крепления. Рассмот-
рим равновесие сил, приложенных к пластинке. Система сил, приложенная к пластинке, произвольная. Среди них имеется шесть неизвестных (XA, YA, ZA, XB, ZB и T). Для определения неизвестных составим шесть уравнений равновесия:
åFkx = 0,
k
åFky = 0,
k
åFkz = 0,
k
åmx (Fx )= 0,
k
åmy (Fk )= 0,
k
åmz (Fk )= 0.
k
При решении задач воспользуемся двойным проектированием силы T. Cначала найдем модуль проекции этой силы на плоскость xBy и модуль проекции на ось z.
|
Txy |
|
= Txy = T ×cosα, |
Tz |
= Tz = T ×sinα. |
|
|
Так как проекция силы на плоскость есть величина векторная, то можно найти модули ее проекций на оси координат x и y
Tx = Tx = Txy ×sin β = T ×cosα ×sin β,
Ty = Ty = Txy ×cos β = T ×cosα ×cos β.
Таким образом момент силы T относительно всех осей Bx, By, Bz имеют вид:
mx (T )= Tz ×a = T ×sinα ×a,
my (T )= -Ty ×b = -T ×sinα ×b,
mz (T )= Tx ×a -Ty ×b = T ×cosα ×sin β ×a -T ×cosα ×cos β ×b.
39
Составим уравнение равновесия:
åFkx = 0; k
åFky = 0; k
åFkz = 0; k
åmx (Fk )= 0;
k
åmy (Fk )= 0;
k
åmz (Fk )= 0;
k
X B + X A - P1 × cosγ - T × cosα × sin β = 0, |
(1) |
||||||||
YA - T × cosα × cos β = 0, |
(2) |
||||||||
Z A + ZB + P1 × sinγ - P2 + T × sinα = 0, |
(3) |
||||||||
- P |
× |
a |
+ Z |
A |
× a + T × sinα × a = 0, |
(4) |
|||
|
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
- P |
× sinγ × b |
+ P |
× |
b |
- T × sinα × b = 0, |
(5) |
|||
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
M - X A × a - T × cosα × cos β × b + T × cosα × sin β × a = 0. (6)
Решая систему уравнений (1)- (6), определим:
из (5) |
T = |
|
|
1 |
|
|
× |
é |
P2 |
- P ×sinγ |
ù = 35(H ), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sinα |
|
ê |
|
|
1 |
ú |
||||||
|
|
|
|
ë 2 |
|
û |
|||||||||
из (6) |
X A |
= |
|
M |
|
- |
b |
×T ×cosα ×cos β + T ×cosα ×sin β = 46,7(H ), |
|||||||
|
a |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
из (4) |
ZA |
= |
P2 |
|
-T ×sinα = -20,1(H ), |
||||||||||
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
из (2) |
YA = T ×cosα ×cos β =15,0(H ), |
||||||||||||||
из (3) |
ZB = P2 - P1 ×sinγ - ZA -T ×sinα = 3(H ), |
||||||||||||||
из (1) |
X B = P1 ×cosγ + T ×cosα ×sin β - X A = -48,45(H ), |
40
ЗАДАНИЕ С-5
Равновесие тел с учетом сил трения
Определить, при каких значениях силы F возможно равновесие конструк- ции, если коэффициент трения скольжения между тормозной колодкой и ка- сающимся с ней телом равен f. Шириной колодки пренебречь, считая контакт точечным. Определить также реакции опор O, A, B, C, D, соответствующие предельному состоянию равновесия конструкции. Трением в шарнирах и опо- рах пренебречь. Схемы вариантов приведены на рис.26-30, а необходимые дан- ные - в таблице 5.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
№№ п/п |
Р, кН |
Q, кН |
a, м |
b, м |
l, м |
α, 0 |
f |
|
1 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,03 |
45 |
0,10 |
|
2 |
0,2 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
– |
30 |
0,20 |
|
3 |
0,3 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
0,06 |
60 |
0,25 |
|
4 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,08 |
30 |
0,15 |
|
5 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,7 |
0,04 |
60 |
0,10 |
|
6 |
0,6 |
1,0 |
0,2 |
0,6 |
– |
45 |
0,25 |
|
7 |
0,4 |
1,2 |
0,7 |
0,2 |
0,06 |
30 |
0,20 |
|
8 |
0,3 |
1,4 |
0,8 |
0,4 |
– |
60 |
0,15 |
|
9 |
0,5 |
1,6 |
0,5 |
0,3 |
– |
45 |
0,20 |
|
10 |
0,3 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
0,08 |
30 |
0,25 |
|
11 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,03 |
45 |
0,10 |
|
12 |
0,2 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
– |
30 |
0,20 |
|
13 |
0,3 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
– |
60 |
0,25 |
|
14 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,08 |
30 |
0,15 |
|
15 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,7 |
– |
60 |
0,10 |
|
16 |
0,6 |
1,0 |
0,2 |
0,6 |
0,05 |
45 |
0,25 |
|
17 |
0,4 |
1,2 |
0,7 |
0,2 |
0,9 |
30 |
0,20 |
|
18 |
0,3 |
1,4 |
0,8 |
0,4 |
0,02 |
60 |
0,15 |
|
19 |
0,5 |
1,6 |
0,5 |
0,3 |
0,08 |
45 |
0,20 |
|
20 |
0,3 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
– |
30 |
0,25 |
|
21 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
0,03 |
– |
0,10 |
|
22 |
0,2 |
0,6 |
0,6 |
0,4 |
0,04 |
– |
0,20 |
|
23 |
0,3 |
0,8 |
0,8 |
0,2 |
0,06 |
45 |
0,25 |
|
24 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,08 |
30 |
0,15 |
|
25 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,7 |
0,04 |
30 |
0,10 |
|
26 |
0,6 |
1,0 |
0,2 |
0,6 |
0,05 |
60 |
0,25 |
|
27 |
0,4 |
1,2 |
0,7 |
0,2 |
0,06 |
45 |
0,20 |
|
28 |
0,3 |
1,4 |
0,8 |
0,4 |
0,02 |
30 |
0,15 |
|
29 |
0,5 |
1,6 |
0,5 |
0,3 |
0,08 |
60 |
0,20 |
|
30 |
0,3 |
1,2 |
0,6 |
0,3 |
0,08 |
45 |
0,25 |
|