Вся высшая математика (Серия) / Задачи / Краснов М.Л. - Задачи и решения. Операционное исчисление - 2003

80

Глава 1. Операционное исчисление

-

-оо

Фурье относительнооо

Применяя преобразованиеоо

а:

к обеим частям урав­

нения

(7)

и условию+оо

(8),

задачи

(7)-+оо перейдем к задаче Коши для

(8)

обыкновенного

дифференциального уравнения

от

dv

2

2

v = O,

( 1 1)

dt

+ {

а

11lt=o= ({)

( 12)

(величина { играет роль параметра).

Решение задачи

(1 1)-(12)

имеет вид

v({, t) = ({)

e

ea2t.

(13)

-

Ранее мы установили, что

-

е-и2е/4

gr(

е-z2/u2J

,

- .п.

-

..!!._

где gl"[!)

преобразование Фурье функции f(

x) . Полагая

t = -

4(12

'

a2

·

§ 9. Преобразование Фурье .

8 1

м ы получим

ea2t - :у

a.Jit

-z2/(4a2t)

]

.

е

q- [-1-e

образований Фурье функций

<р

(

х)

и

-1 -

-z2/(4 't>

e

a

.

a.Jit

На основании теоремы о свертке функций

'!F[/t * !2]

= V2i '!F[!J ] . '!F[/2].

откуда,

полъзуясъ выражением для свертки функций <р(х) и e-z2/(4a2t) ,

nолучим

t) = 2av1ft /+оо<р(Л) ехр { - (:с - Лt)2

} dЛ, t > О.

и(:с,

(1 5)

1

4а2

г::;

Формула (15) дает

решение исходной задачи (7)-(8)

-оо

и называется инте­

гралом

Пуассона.

Пример 2. Найти решение уравнения

ди

(7')

дt

с начальным условием

(8')

где ио = const.

Решение.

Пользуясь формулой ( 15), nолучим искомое решение

и j"'

{ -

(х -

)

2

d>..

u(x, t) =

2av1ft "'J

ехр

>.

}

( 16)

4а t

2

о

-"2 dJJ.

( 1 7)

Ф(z) =

v'iiJ е

2

z

z -

ймеем

Заменой персменных ----=нJJ, d = -2a./idJJ из (16)

u(ж' t) -

uo j

2avt

Р.

uo

=

-

е

_ 2 djj = -

u0

.ji

2а.Л

v'ii

ж - ж,

ж

ж2

!::!.1.

]

( 1 8)

-

2

[Ф (--)

- Ф (--)

·

2aVt

2a.fi

-

Нетрудно nроверить, что функция Ф(z),

определяемая формулой (J 7), является

так что Ф(+со) = 1 , Ф(-оо) = - 1 .

2

+ооо

1 ,

нечетной. При

z

-+ +со функция

Ф(z)

стремится к интегралу v1г.:Г

J

е-"2

dJJ =

Исходя из свойств функции Ф(z), убеж.цаемся, что решение u(ж, t) , опреде­

ляемое формулой (7),

удовлетворяет начальному условию (8). В самом деле, при

ж < ж1 обе

Ж - Ж1

и Ж - Ж2

при t - ++0 стремятся к

-со.

При ж > ж2

величины

---л-

2avt

2avt

выражения стремятся к +со nри t -+ +0. В обоих случаях значеhия функций,

стоящие в квадратных скобках в nравой части (18), имеют один и тот же предел

ж - ж1

ж - ж2

ж1 < ж < ж2 ,

эти(

или

+1),

а их разность имеет предел, равный нулю. Если же

- 1

--г. - +со --г. -

-оож1.

ж < ж2 . В точках ж = ж1 и ж = ж2

стремится к 2, так что u(ж,

О) =

то

2avt

t-++O

и 2avt

t-++O

Выражение в квадратных скобках в (18)

температура u

-t-++0

2

Uo.

<

uo

!>

-.

В следующих задачах найти, полъзуясь формулой Пуассона, решение

задачи Коши д;IЛ УРавнения теплопроводности.

§ 9.

Преобраэованне Фурье

u(ж, t),

83

Рассмотрим следующую задачу Коши: найти функцию

удо­

влетворяющую уравнению

,

О,

-оо < :с < +оо,

8

2

u

2

8

2

u

a

2

-

а

а

ж

2

t >

(19)

и начальным условиямt

lt=o- о,

-оо < ж < +оо.

(20)

au

(21)

-at

Эту задачу можно интерпретировать как задачу о свободных колебаниях

однородной бесконечной струны для

> О , если известно начальное

смещение

струны от положенияt равновесия в момент

t =

О, а

скорость равна нулю.

начальная <р0(ж)

Так как пространствеиная переменмая

изменяется от -оо до + оо ,

можно применить преобразование Фурье пож

переменной

Допустим, что функции

u(ж,t)

и

<ро(ж)

удовлетворя;:юст.

условиям 1)

vlt=o= оЮ = vk j 'Po(ж)e-i{:r dж.

+оо

Применяя преобразование Фурье по-оо

к обеим частям уравнения (19)

и к начальным условиям (20)-(2 1), отжзадачи ( 1 9)-(21)

приходим к

задаче Коши для обыкновенного дифференциального

уравнения:

14Ы

dt2

+ а

{

v = O,

d2v

2

2

(22)

v

lt=o

= о({),

(23)

dt lt::O-

•

(24)

dv