Вся высшая математика (Серия) / Задачи / Краснов М.Л. - Задачи и решения. Операционное исчисление - 2003

Найти изображения: следующих функций:

45. а) e2 1sint; б) e1cosnt.

46. е-1. е .

48. te1 cost.

Vlll. Теорема эаnаэдь1аания.

Если l(t) := F(p), то для любого поло­

жительного т

j(t- т):=' е-ртF(p).

(5)

Решение. Для функции f(t) =t2 q(t) имеем

/

2

(t);:::!

р]·

По теореме запаздыва!Пfя для функции f(t- 1) = t( - l)2q(t- 1) имеем

е-Р 23 •

(t 1)2q(t- 1);:::!

р

- l)271(t- 1),

Здесь существенно, что ищется изображение функции f(t- 1) = t(

т. е. функции, равной нулю nриt

< 1.

= t(- 1)2 q(t), то для нее имели бы J1t)(

=

Если рассмотреть функцию

/1 t)(

(t2- 2t+ I)q(t) и no свойству линейности

р2

+ 1

1)

2

q t

р

[>

(t-

( )

;:::!

2

р'

2З -

§ l. Нахождение изображений и оригиналов

11

Найти изображение функций:

2(t- Ь)q(t-Ь). 53. eнq(t- 2).

51. sin (t- Ь)q(t-Ь).

52. cos

Рис.1

Решение. Найдем анмитическое выражение для /(t).

(б)

t Е (0,

а) функция

f(t)

=t-a

а) Для

задается формулой

/(t) -1}(t). .

б)

Для t

(

а, 2 а) имеем f(t) = О.

а

в)

2 а

nолучаем

·

При t Е

t- 2а

(7)

j(t) =

q(t- 2 а).

для всех t

Потребовавф1(t)

--а

всех

j(t)

, чтобы nри

Предnолагая, что функция j(t) задана формулой (6) для

О, выясним,

какую

а.

а

чтобы

nолучить функциюt ;,?:

= О

функцию

надо к ней nрибавитъ,

t-a

+lФ1(t)=О,

а

-

наЙдем

t-a

а).

Фt(f) = - q( t-

а

Далее находим такую функцию ф2(t), чтобы в сумме с

/(t) = О

иметь

--а

ШIЯ

t

2 а. Это

t- 2 а

функцию t-2 а

всех

дает

о

+ Ф2(t) = -- ,

а

Таким образом, для всех t О nолучим

t- а

t- а

t- 2а

17( t- 2 а).

j(t) = -а

q(t)- -а

17(t- а)+ --а

12

Тhава 1 . Операционное исчисление

Пример 1 1 .

Найти изображение F(p) функции j(t), которая задана

следующим графиком (рис. 2):

/(']

а

2

Рис.2

За

4а .,.t

а

Решение.

Найлем аналитическое выражение для функции f(t).

j(t)

дп

t

(0, а),

а)

=

я

Е (а, 2а),

б) j(t) = Оl для t

)

j(t)

=

t- 2а

3а

Е

(2а, За),

а t

--

Е

в

для t

r)

j(t) =

-- для t

(За,4а),

д)

О для

а

4а.

Е

/(t) =

1 -

t

Для t

(0, а) имеем f(t) == 1.

Далее наЙдем функцию ф1(t) такую, чтобы.

при t а выполнялось соотно­

шение 1 + ф

О,

откуда ф1(t)

=

-

J

·

q(t

-

а)

.

Е1(t)

Теnерь находим функцию ф2(t) такую, чтобы nри всех t > 2а было справед­

ливо равенство

О+ ф2(t)

t

2а

t- 2а

а

--. Отсюда

--q(t- 2а).

а

Аналогично находим фунruии

t

За

t

4а

-2--q(t- За), ф4(t) = -- 'l](t- 4а).

а

а

Таким образом,

j(t} = rt(t)- q(t- а)+

t- 2а

- 2а)-

t-3a

t-4a

ние

а

и

а

а

изображе­

теоремой запаздывания, nолучим

Пользуясь свойстtюм линейности

F(p)

=

1

1>

р

­

§ 1. Нахождение изображений и оригиналов

13

Пример 12. Найти

и

зоб ажение функции

р

nри

t < 1,

j(t)

= {О2

nри

t > 2.

< 2,

t

nри

1 < t

Решение. Выразим

/(t)

О

2(t - t- 1

t-

Имеем

через стеnени разностей

и

2.

е [(t- I)+ tJ2

=

(t- 1) 2 +

r)+ 1,

t2 [(t- 2)+2]2

=

(t- 2) 2+4(t- 2}+4.

Следовательно, данная функция f(t) запишется в виде

2) +4]q(t- 2).

/(t) = [(t- 1) 2 + 2(t- 1)+ l)q(t- 1) - [(t- 2) 2 + 4(t

Переходя к изображениям, получим

t>

f(t) ? F(p)

(р +;+ )е-р- (;з +; + )е-2Р.

Задачи для самостоятельного решения

Найти изображения следующих функций, заданных графически:

54. f(t)

55. f(t)

о

1

t

о

t

56.

f(t)

14

.DJaвa 1. Операционное исчисление

70. f(t)

о 1

2 3

456

7

л.

8/.t

о 1vvvvY2 3 4 5

t

&9. ю; .

72.

f(t)

=

lcos t! .

71 . f(t)

73.

f(t h= lsin tl.

..t

о

1Г

{ sin t

п

2k1r < t < (2k

l )tr,

2, . . ).

f(t)

ри

(k = О, 1 ,

·

(2 k + 1)1Г < t < (2 k +2 )'11',

=

0

при

.

74.

F(p), то

+

а

Показать, что если j(t) :=

j(t)71(t

F(p) -

e

- а):=

jо j(t)

-pt d t.

неnрерывная в точке t = О.

Аналогично оnределяется функция ё(t - т) , сосредоточенная в точке

t=т.

В теории обобщенных функций ё(t) рассматривается как nроизвод-

{о1

:

t

<о:

пая единичной функции 11(t) =

t

>о

§ 1. Нахождение изображений и оригиналов

17

h,.

=

J(tk +О) - J(tk- О)

(k = 1 , 2, . .. , n).

(t1;, tk+J)

Пусть j(t)

интервалах

непрерывно дифференцируема в

(k = 1 , 2, .. . , n - 1 ) и при t < t1 и t >n tn. Тогда

/'(t) = ,;(t) + '2:k"'l

h o:б(t- t,.),

(1 1 )

n

где /1(t) = J(t)- 2: hk'l](t - t :) - «сомкнутая» функция. Таким образом,

k=l

nроизводпая разрывной функции /(t) составляется из ее обычной nроиз

водной Jr(t) (в интервалах гладкости j(t)) и суммы б-ф

и в точках

/(t)

'fJ(t)- 2q(t - 1) + q(t- 2).

Применяя формулу (1 1 ), находим

!'(t)

б(t)- 2б(t - 1) + б(t- 2),

75.

Решить задачу 70,

g(t)

=

{

f(at - Ь),

t

>

·

j(t) ,

а

.

t

<

-

о,

ь,

найдя сначала изображение производной функции