§ 12.6. Формула Тейлора

(∂/∂ )2, получающиеся при возведении в квадрат, понимают как

∂2/∂ 2, произведения ∂/∂ и ∂/∂ понимают как ∂2/∂ ∂ , а

умножение на означает, что берутся соответствующие производные функции .

Дифференциалы третьего и более высоких порядков вводятся по индукции. Если все частные производные функции до порядка − 1 включительно дифференцируемы в некоторой точке, то в этой точке по определению полагают

и функцию называют раз дифференцируемой. Если при этом все частные производные до порядка включительно непрерывны в точке или в области, то функцию называют раз непрерывно дифференцируемой соответственно в точке или области.

Вывод формул для дифференциалов третьего и более высоких порядков проводится аналогично тому, как это делалось для дифференциалов второго порядка. Естественно, что формулы при этом усложняются, если переменные не являются независимыми.

Если же переменные независимы и производные непрерывны, то

§ 12.6. Формула Тейлора

Как и для функций одной переменной, формула Тейлора для функций многих переменных да¨ет с точностью до определенных остаточных членов представление функции в виде многочлена, который называют многочленом Тейлора.

Пусть функция (x) дифференцируема раз в некоторой области пространства E , содержащей отрезок, соединяющий точки x0 и x.

Рассмотрим след функции на этом отрезке, т.е. функцию

Таким образом, установлено следующее предложение.

Теорема 12.6.2. Если функция (x) дважды непрерывно дифференцируема в области пространства E , содержащей отрезок с концами в точках x0 и x, то справедлива оценка

Это и есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, когда многочлен Тейлора является многочленом второй степени.

По аналогии с (12.5.15) формулу (12.6.6) можно записать в виде

Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано для многочленов Тейлора степени имеет вид (| x| ). В этом можно убедиться, рассуждая аналогично выводу формулы (12.6.6).