§ 10.4. Задачи и упражнения |
101 |
а при → 0 в силу непрерывности ( ) в точке предел выражения в правой части этого равенства равен ( ) − ( ).
Если – точка устранимого разрыва функции , то вводим функцию
{
( ) := 1 при = ,
0при ̸=
ипроводим аналогичные рассуждения с функцией ( ) вместо( ). Тогда в тех же обозначениях имеем
( , ) = ( )( ( ) − ( −1)),
а это выражение стремится к нулю при → 0.
Итак, теорема доказана, если ( ) имеет одну точку разрыва. В общем случае теорема вытекает из линейности интеграла Римана–Стилтьеса и того, что функцию ( ) можно сделать непрерывной на [ , ], прибавив к ней линейную комбинацию функций ( + ) и ( + ) при соответствующих сдвигах аргумента
и .
§10.4. Задачи и упражнения
10.4.1.Докажите, что если на отрезке функция ( ) имеет ограниченную вариацию и | ( )| > > 0, то функция 1/ ( ) также имеет ограниченную вариацию.
10.4.2.Является ли ограниченность функции ( ) необходимым условием существования интеграла Римана–Стилтьеса
∫
( ) ( )?
10.4.3.Докажите, что интеграл Римана–Стилтьеса от непрерывной функции по непрерывной функции может не существовать.
10.4.4.Пусть функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ] и существует интеграл Римана–Стилтьеса
∫
( ) ( ). (10.4.1)
102 Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса
Согласно теореме 10.3.7 значение интеграла (10.4.1) сохраняется при изменении функции во внутренней точке отрезка [ , ]. Изменится ли и, если изменится, то как, значение интеграла (10.4.1), если изменить функцию в концевых точках или ?