§ 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса

Сумма в правой части полученного равенства является интегральной суммой Римана функции | ′( )|. Так как эти интегральные суммы неотрицательны, то верхняя грань таких сумм по всем разбиениям равна значению интеграла из (10.1.6).

Теорема доказана.

§ 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса

Наряду с несобственными интегралами, рассматривавшимися

вS 9.10, интеграл Римана–Стилтьеса является ещ¨ одним обобщением интеграла Римана.

Пусть на отрезке [ , ] заданы функции ( ) и ( ). Для произвольного разбиения отрезка [ , ]

= 0 < 1 < · · · < =

вкаждом отрезке [ −1, ] возьм¨ем некоторую точку и составим сумму

∑

( , ) := ( )[ ( ) − ( −1)].

=1

Эту сумму называют интегральной суммой Римана–Стилтьеса

(соответствующей разбиению и выбору точек ) функции по функции .

Определение. Пусть на отрезке [ , ] заданы функции ( )

и ( ). Функцию называют интегрируемой по функции на

[ , ] в смысле интеграла Римана–Стилтьеса, если существует такое число , что для любого > 0 имеется число ( ) > 0, при котором для каждого разбиения отрезка [ , ] диаметра < при произвольном выборе точек справедлива оценка

| − ( , )| < .

Число называют интегралом Римана–Стилтьеса функции

по функции на отрезке [ , ] и обозначают

грирующей.

В случае ( ) ≡ интегральная сумма Римана–Стилтьеса( , ) является интегральной суммой Римана ( , ), а интеграл Римана–Стилтьеса – интегралом Римана.

Понятно, что если интеграл Римана–Стилтьеса существует, то его значение определяется однозначно.

Теорема 10.2.1 (Критерий Коши существования интеграла Римана–Стилтьеса). Пусть на отрезке [ , ] заданы функции ( ) и ( ). Интеграл Римана–Стилтьеса функции по существует в том и только том случае, когда выполнено условие Коши, состоящее в том, что для каждого > 0 существует= ( ) > 0 такое, что для любых разбиений ′ и ′′ отрезка [ , ], диаметры которых меньше , и произвольных наборах точек ′, ′′ справедлива оценка

Доказательство. Необходимость устанавливается с помощью стандартных рассуждений. Именно, если интеграл (10.2.1) существует, то для заданного > 0 находим > 0 такое, что для каждого разбиения отрезка [ , ], диаметр которого < , при любом выборе точек выполняется оценка

| − ( , )| < 2 .

Тогда для произвольных разбиений ′ и ′′, диаметры которых меньше , справедлива оценка (10.2.2), т.е. выполнено условие Коши.

Докажем теперь достаточность.

Для = 1/ , N, найд¨ем > 0, при котором выполнено условие Коши. Не теряя общности, будем считать, что числа с ростом монотонно убывают.

Для каждого возьм¨ем некоторое разбиение отрезка [ , ] c диаметром < и точки ( ) из отрезков этого разбиения. Значения полученных интегральных сумм ( , ( )) обозначим .

Покажем, что для последовательности { } выполнено условие Коши сходимости числовых последовательностей.

Для произвольного > 0 находим натуральное такое, что

< . Тогда для любых , > имеем < 6 и <6 и согласно (10.2.2)

| − | = | ( , ( )) − ( , ( ))| < .

Таким образом, последовательность { } сходится. Покажем, что е¨ предел

:= lim ( , ( )).

→∞

является интегралом Римана–Стилтьеса (10.2.1).

Для заданного > 0 найд¨ем такое, что < . Тогда для каждого > имеем < 6 . Поэтому в силу условия Коши для любого разбиения с < и любого набора точекпри всех > справедлива оценка

| ( , ( )) − ( , )| < .

Переходя здесь к пределу при → ∞, получаем

| − ( , )| 6 < .

Таким образом, является интегралом Римана–Стилтьеса (10.2.1).

Теорема доказана.

При ( ) ≡ теорема 10.2.1 да¨ет критерий Коши существования собственного интеграла Римана. В главе 9 об этом не говорилось.

На интеграл Римана–Стилтьеса легко переносятся некоторые свойства интеграла Римана. Например, линейность относительно интегрируемой функции:

∫ ∫ ∫

( ( ) + ( )) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ).

Здесь предполагается, что функции ( ) и ( ) интегрируемы по( ), и – произвольные числа, а утверждается интегрируемость функции ( ) + ( ) и справедливость равенства.

Свойство линейности интеграла Римана–Стилтьеса имеет место и по отношению к интегрирующей функции:

∫ ∫ ∫

( ) ( ( ) + ( )) = ( ) ( ) + ( ) ( ).

(10.2.3) Здесь также предполагается, что существуют интегралы из правой части и утверждается существование интеграла в левой части и справедливость равенства.

Эти свойства основываются на линейности интегральных сумм Римана–Стилтьеса и критерии Коши. Доказательства не приводим ввиду их простоты.

Теорема 10.2.2. Интеграл

∫

существует, если на отрезке [ , ] функция ( ) непрерывна, а функция ( ) имеет ограниченную вариацию.

Доказательство. Так как функции ограниченной вариации представимы в виде разности двух возрастающих функций, то согласно (10.2.3) достаточно доказать теорему для возрастающей на [ , ] функции .

Рассуждения следуют схеме доказательства с помощью сумм

иинтегралов Дарбу интегрируемости по Риману непрерывных функций.

Пусть – разбиение отрезка [ , ]

= 0 < 1 < · · · < =

и( ) и ( ) – числа, определ¨енные для функции формулами (9.2.1).

Рассмотрим верхние и нижние суммы Дарбу–Стилтьеса

∑

( ) := ( )( ( ) − ( −1)),

=1

∑

( ) := ( )( ( ) − ( −1)).

=1

В силу возрастания от добавления к разбиению новой точки верхняя сумма ( ) может только уменьшиться, а нижняя сумма ( ) может только увеличиться. Поэтому справедлив

аналог теоремы 9.2.2, согласно которому 1 ( ) 6 2 ( ) для любых разбиений 1 и 2.

Следовательно, существует верхний интеграл Дарбу–Стил- тьеса

*( ) := inf ( )

Для разности верхней и нижней сумм Дарбу–Стилтьеса справедливо неравенство, аналогичное оценке (9.2.10), установленной при доказательстве теоремы 9.2.6:

где – диаметр разбиения .

Для возрастающих функций при произвольных точках интегральные суммы Римана–Стилтьеса связаны с суммами Дарбу– Стилтьеса неравенствами

( ) 6 ( , ) 6 ( ).

Поэтому согласно (10.2.5) и (10.2.6) при любом выборе точек

Функция равномерно непрерывна на отрезке [ , ], поэтому( , +0) = 0 и выражение в правой части (10.2.7) можно сделать как угодно малым за сч¨ет малости диаметра разбиения . Значит, интеграл (10.2.4) существует и теорема доказана.

Если не произвольная функция ограниченной вариации, а удовлетворяет условию Липшица первого порядка, то в теореме 10.2.2 требование непрерывности функции можно ослабить.

Теорема 10.2.3. Интеграл (10.2.4) существует, если на отрезке [ , ] функция ( ) удовлетворяет условию Липшица первого порядка, а функция ( ) интегрируема по Риману.

Доказательство. Рассуждение аналогично доказательству теоремы 10.2.2.

Не теряя общности, функцию можно считать возрастающей. В самом деле, если | ( ′)− ( ′′)| 6 | ′ − ′′| для всех ′ и ′′, то

функция − ( ) на [ , ] возрастает, так как при 6 1 < 2 6

2 − ( 2) − ( 1 − ( 1)) = ( 2 − 1) − ( ( 2) − ( 1)) > 0.