Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Методичка_Кратные_инт

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

871.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Решение.

Перейдем

полярным

координатам:

x r cos ,

y r sin .

Уравнение

кривой

L примет

вид

r a

cos 2 ,

;

. Для

вычисления интеграла применим формулу (2.5). Так как

x 2 y 2

r a 2

cos 2 ,

r 2 (r )2

a 2 1 3sin2

2 , то

/ 4

x2 y2 dl

a4 cos2

1 3sin 2 2 d

/ 4

5 /4

a 4 cos 2

1 3sin2 2 d

1 3sin2 2 d (

3 sin 2 )

3 /4

2a 4

ln(

3 2).

Задача 3. Найти массу m материальной кривой

L , заданной уравнением

y ln x, где 1 x e , если ее плотность (x, y) kx 2 .

Решение.

По формуле для массы

m kx 2 dl. Для вычисления интеграла

1 x 2

1 (y (x)) 2

воспользуемся

формулой

(2.4). Так как

, то

x 2

1 x

m k x 2

(1 x 2 )3 / 2

((1 e2 )3 / 2

2).

2.3 Поверхностные интегралы первого рода

Пусть f (x, y, z) функция, непрерывная на некоторой гладкой ограниченной поверхности S . Разобьем поверхность S на n частей S1 ,..., Sn , не имеющих общих внутренних точек, и в каждой части Sk выберем произвольную точку

Mk (xk , yk , zk ), k 1,..., n. Составим интегральную сумму

n
f (xk , yk , zk ) sk ,	(2.7)
k 1
где sk ― площадь Sk .
Пусть s max sk . Если интегральная сумма (2.7)	имеет предел при
1 k n

s 0(n ), не зависящий от способа дробления поверхности S на части Sk и

от выбора точек Mk в них, то этот предел называется поверхностным интегралом
1-го рода от функции f (x, y, z)	по поверхности S и обозначается f (x, y, z)ds,
		S
т.е.
	n
f (x, y, z)ds lim f (xk , yk , zk ) Sk .		(2.8)
	S 0
S	(n ) k 1
Если через s обозначить площадь поверхности S ,		то из формулы (2.8)
следует при f (x, y, z) 1, что
s ds.		(2.9)
S
Если на поверхности S распределена с плотностью (x, y, z) некоторая
масса m, то
m (x, y, z)ds.		(2.10)
S
Координаты центра масс, статические моменты		и моменты инерции

материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам

(1.5) ― (1.7).

Если поверхность S задана уравнением z z(x, y), то вычисление

поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по области Dxy - проекции поверхности S на плоскость xOy :

f (x, y, z)ds f (x, y, z(x, y))			2		2	dxdy,	(2.11)
f (x, y, z)ds f (x, y, z(x, y))		1 (z x )		(z y )		dxdy,	(2.11)
S	Dxy

где z	z (x, y),	z	z	(x, y). Формула (2.9) для вычисления площади в этом
x	x	y	y
	x		y
случае принимает вид

	s			2		2	dxdy.	(2.12)
	s	1 (z x )			(z y )		dxdy.	(2.12)
	Dxy
Если гладкая поверхность S задана параметрическими уравнениями
			x x(u, v),				y y(u, v),	z z(u, v),

где функции x, y, z имеют непрерывные частные производные первого порядка в замкнутой области D, то

f (x, y, z)ds f x u, v , y u, v , x u, v

EG F 2 dudv,

где

, G xv

E xu

F xu xv

yu yv

zu zv .

(2.13)

(2.14)

2.4 Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить z ds, где S	- часть поверхности 2a z x 2	y 2
S

(a 0), вырезанная поверхностью z x 2 y 2 .


Решение. Поверхность S является		частью параболоида 2a z x 2 y 2 ,

отсеченной конусом z	x 2 y 2 (рисунок 2.2).
	Поверхность S однозначно проецируется на
	плоскость xOy в область Dx y ― круг радиуса 2a с
	центром в начале координат. Уравнение
	окружности	x 2 y 2 4a 2 ,	которая	является
	границей Dx y	получается,	если из	уравнений
	25

Рисунок 2.2

x 2 y 2 и

2a z x 2 y 2

исключить z.

Разрешая

уравнение 2a z x 2

y 2

поверхности S

относительно

получаем

Следовательно,

Поэтому,

z y .

воспользовавшись формулой (2.11), получаем

x 2

y 2

z ds

x 2

y 2

dxdy

Dxy

a 2

x 2

y 2

a 2

x 2 y 2 dxdy

Dx y

x r cos , y r sin ,

d r 3

a 2 r 2 dr

0 2 , 0 r 2a

2a 2

t 2 a 2

r 2 ,tdt rdr

r 3

a 2 r 2 dr

a 2

r 2 t 2 a 2 ,a t a

2 50 5 .

t 2 a 2

t 2 dt

a 2

Задача

Найти

массу

поверхности

сферы

радиусом a,

если

ее

поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до вертикального диаметра.

Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось Oz по вертикали, получим, что расстояние от точки P(x, y, z) сферы до оси Oz равно


	x 2 y 2 ,	значит, плотность x, y, z		x 2 y 2 .
Согласно формуле (2.10)

		m	x 2 y 2 ds,
		S
где S сфера, центр которой находится в начале координат.
	Для вычисления интеграла применим формулу (2.13), поэтому запишем
параметрическое представление сферы S :
	x a cos sin , y a sin sin , z a cos ,				0 2 ,	0 .
			26

По формулам (2.14) вычислим

sin

cos

sin

E x

cos

sin

cos

sin

G x

F x x y y z z 0,

EG F

sin

Следовательно, m

x 2

y 2 dS

a 2

cos2 sin 2

a 2 sin 2

sin 2 sin d

1 cos 2

d sin 2 d 2 a3

d 2 a3 .

3 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих

условиях:

1.Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

2.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями.

3.Найти площадь части поверхности L, вырезаемой поверхностью H .

4.Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5.Найти массу тела плотности , ограниченного данными поверхностями.

Вариант № 1

1 2	x
1. dx f (x, y)dy .

0x3

2.r a(1 cos ).

3. L : x2 y 2 z 2 a2 ,		H : x 2 y 2 ay.
4.	y2 / b2 z 2 / c2 2x a ,x a
5. 0 x a, 0 y b, 0 z c, x y z.
6. Найти длину кардиоиды x 2acost acos2t,			y 2asin t a sin 2t.
7.	Вычислить площадь	части поверхности параболоида 4x y 2		z 2 ,

ограниченной плоскостью x 3 (0 x 3).

Вариант № 2

1 y

1. dy

f (x, y)dy

1 y

x y a ,

x 0,

y 0.

3. L : z x 2 y 2 ,

H : x 2 y 2 2x.

x 2 y 2 z2 2z 0,

x 2 y 2 2 z

x y z a,

x 0,

y 0, z 0; z.

Вычислить

координаты

центра тяжести однородной дуги астроиды

x a cos3 t,

y a sin3 t, расположенной в I квадранте.

7. Найти массу сферы x 2 y 2

z 2 R 2 , если поверхностная плотность в каждой

точке равна расстоянию от этой точки до оси Oz .

Вариант № 3

	2	2x
		2x
1.	3 dx f (x, y)dy.
	0	x
2. ay x 2 ,			x y 2a	(a 0).
3. L : x 1 y 2 z 2 ,				H : y 2 z 2 1.
4.	x 2 y 2		z 2 16,	x 2 y 2 z 2		8z 0.
5.	z h,		x2 y 2 z 2 0,		z.
6.	Найти массу дуги окружности					x 2 y 2 a 2 , расположенной в I	квадранте,
	если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна квадрату
	ординаты.
7.	Найти массу параболической					оболочки x 2 y 2 2z, 0 z 1,	плотность

которой в каждой точке равна ее аппликате.

						Вариант № 4

	1	3 y
1. dy f (x, y)dx .
	0	y
2.	y 2 ax,		y ax.
3. L : x 2 y 2 z 2 a 2 ,					H : x 2 y 2 b2 .
4.	x 2 y 2 z 2 ,			x 2 y 2 6 z,		z 0.
5.	x2 y 2		a2 ,	x2 y 2 az,	z 0 (z 0), z.

6.Вычислить статический момент относительно плоскости xOy одного витка винтовой линии x acost, y a sin t, z ht, (x, y, z) 1.

7.Найти площадь части поверхности сферы x 2 y 2 z 2 R 2 , расположенной

внутри цилиндра x 2 y 2 R x.

Вариант № 5

1	0
1. dx	f (x, y)dx.

3 4 x2

2.y a x,y a x, y 0.

3. L : x 2 y 2 2az;

H : (x 2 y 2 )2 2a 2 xy.

x 2 y 2 4x,

x z,

z 2x.

x2 y 2 z 2 a2 ,

x2 y 2 z 2 , x2 y 2 z 2 .

Вычислить

момент инерции

относительно точки O(0,0) дуги окружности

x Rcost,

0 t

y R sin t

Найти площадь поверхности

x 2 z 2 R2 , содержащейся между плоскостями

y 0,

z 0.

Вариант № 6

2ax

f (x, y)dy .

02ax x2

2.y x 2 , y 2x 2 , x 1, x 2.

3. L :z 2 x 2 y 2 ,					H :z 2 2 py.
4.	x 2 y 2 z 2 3a 2 ,					x 2 y 2 2az.
5.	x 2 y 2 R2 ,			z H,			z 0;	x 2 y 2 z 2 .
6. Вычислить			статический момент относительно оси						Oy верхней половины
	эллипса	x 2		y 2	1,		если плотность распределения		массы в точке равна
		a 2		b2

ординате этой точки.

7. Найти массу поверхности сферы, если ее поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от вертикального диаметра.

Вариант № 7

2 y

1. dy f (x, y)dx.

0 y

x 2

y 2

x 0,

y 0.

a 2

3. L : y 2 z 2 x 2 ,

H : x 2 y 2 R 2 .

x 2 y 2 z 2 R2 ,

x 2 y 2 R x.

x 2 y 2 z,

x y a,

x 0,

y 0,

z 0,

Вычислить массу отрезка AB , если A(1;3) и B(4;5), а плотность распределения

массы в каждой точке M равна 1 (2x y).

Найти

статические

моменты

однородной треугольной пластинки

x y z a,

x 0,

y 0,

z 0

относительно координатных плоскостей.

Вариант № 8

3 2 y

1. dy f (x, y)dx.

y 2 2 px,

x a

(a 0).

3. L : x 2 y 2 2z ,

H : x2 y 2 1.

x 2 y 2 z 2

2az,

x 2 y 2 z 2 , содержащего точку M(0;0; a).

x 2 y 2 z 2 a 2 ,

z 0,

z a 0;

6. Найти массу

первого витка винтовой линии

x a cost,

y a sin t,

z at,

если плотность распределения массы в каждой точке z 2

/(x2 y 2 ).

7. Найти

момент

инерции

однородной

треугольной

пластинки

x y z 1,

x 0,

y 0,

z 0 относительно плоскости xOy.

Вариант № 9

2 y2

1. dy

f (x, y)dx.

y 2 ax,

x a,

y 0.

3. L : x 2 y 2 z 2 R 2 ,

H : (x 2 y 2 )2 R 2 (x 2 y 2 ).

4. z 6 x 2 y 2 ,

x 2 y 2 z.

x 2 z2 a 2 ,

y 2 z 2 a 2 ,

z 0,

Найти массу одного витка однородной винтовой линии

x a cos t,

y a sin t,

z ht,

(x, y, z) 1.

Найти

момент

инерции

однородной

конической

поверхности

x 2 y 2 ,

0 z h относительно плоскости z 0.

Вариант № 10

2 y

f (x, y)dx.

( y2 4)/4

y 2 2 px,

x 2 p.

3. L : x 2 z 2 a 2 ,

H : y 2 a(a x).

4. az x 2 y 2 ,

x 2 y 2 .

x 2 y 2 z 2 c2 ,

x 0,

y 0,

z 0,

x / a y / b 1,

a c,

b c.

Вычислить массу участка цепной линии y a / 2

между точками

e a e

с абсциссами x1 0 и x2 a ,

если плотность распределения массы в каждой

точке обратно пропорциональна ординате точки, причем

точке

(0; a)

плотность равна .

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ

#
05.06.20151.21 Mб18ВТА и Численные Ряды. 3 Семестр.pdf
#
05.06.2015666.98 Кб49Матан. Кратные интегралы..pdf
#
05.06.2015871.02 Кб50Методичка_Кратные_инт.pdf