§ 1. Область рациональных чисел

11

1.

Предварительные замечания

11

2.

Упорядочение области рациональных чисел

12

3.

Сложение и вычитание рациональных чисел

12

4.

Умножение и деление рациональных чисел

14

5.

Аксиома Архимеда

16

§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных

17

чисел

6.

Определение иррационального числа

17

7.

Упорядочение области вещественных чисел

19

8.

Вспомогательные предложения

21

9.

Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью

22

10.

Непрерывность области вещественных чисел

24

11.

Границы числовых множеств

25

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами

28

12.

Определение суммы вещественных чисел

28

13.

Свойства сложения

29

14.

Определение произведения вещественных чисел

31

15.

Свойства умножения

32

16.

Заключение

34

17.

Абсолютные величины

34

§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел

35

18.

Существование корня. Степень с рациональным показателем

35

19.

Степень с любым вещественным показателем

37

20.

Логарифмы

39

21.

Измерение отрезков

40

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Варианта и ее предел

43

22.

Переменная величина, варианта

43

23.

Предел варианты

46

24.

Бесконечно малые величины

47

25.

Примеры

48

26.

Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел

52

27.

Бесконечно большие величины

54

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов

56

28.

Предельный переход в равенстве и неравенстве

56

29.

Леммы о бесконечно малых

57

30.

Арифметические операции над переменными

58

31.

Неопределенные выражения

60

32.

Примеры на нахождение пределов

62

33.

Теорема Штольца и ее применения

67

§ 3. Монотонная варианта

70

34.

Предел монотонной варианты

70

35.

Примеры

72

36.

Число е

77

37.

Приближенное вычисление числа е

79

38.

Лемма о вложенных промежутках

82

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы

83

39.

Принцип сходимости

83

40.

Частичные последовательности и частичные пределы

85

41.

Лемма Больцано—Вейерштрасса

87

42.

Наибольший и наименьший пределы

89

ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Понятие функции

93

43.

Переменная и область ее изменения

93

44.

Функциональная зависимость между переменными. Примеры

94

45.

Определение понятия функции

95

46.

Аналитический способ задания функции

98

47.

График функции

100

48.

Важнейшие классы функций

102

49.

Понятие обратной функции

108

50.

Обратные тригонометрические функции

110

51.

Суперпозиция функций. Заключительные замечания

114

§ 2. Предел функции

115

52.

Определение предела функции

115

53.

Сведение к случаю варианты

117

54.

Примеры

120

55.

Распространение теории пределов

128

56.

Примеры

130

57.

Предел монотонной функции

133

58.

Общий признак Больцано—Коши

134

59.

Наибольший и наименьший пределы функции

135

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин

136

60.

Сравнение бесконечно малых

136

61.

Шкала бесконечио малых

137

62.

Эквивалентные бесконечно малые

139

63.

Выделение главной части

141

64.

Задачи

143

65.

Классификация бесконечно больших

145

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций

146

66.

Определение непрерывности функции в точке

146

67.

Арифметические операции над непрерывными функциями

148

68.

Примеры непрерывных функций

148

69.

Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов

150

70.

Примеры разрывных функций

151

71.

Непрерывность и разрывы монотонной функции

154

72.

Непрерывность элементарных функций

155

73.

Суперпозиция непрерывных функций

156

74.

Решение одного функционального уравнения

157

75.

Функциональная характеристика показательной, логарифмической и

158

степенной функций

76.

Функциональная характеристика тригонометрического и

160

гиперболического косинусов

77.

Использование непрерывности функций для вычисления пределов

162

78.

Степенно-показательные выражения

165

79.

Примеры

166

§ 5. Свойства непрерывных функций

168

80.

Теорема об обращении функции в нуль

168

81.

Применение к решению уравнений

170

82.

Теорема о промежуточном значении

171

83.

Существование обратной функции

172

84.

Теорема об ограниченности функции

174

85.

Наибольшее и наименьшее значения функции

175

86.

Понятие равномерной непрерывности

178

87.

Теорема Кантора

179

88.

Лемма Бореля

180

89.

Новые доказательства основных теорем

182

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная и ее вычисление

186

90.

Задача о вычислении скорости движущейся точки

186

91.

Задача о проведении касательной к кривой

187

92.

Определение производной

189

93.

Примеры вычисления производных

193

94.

Производная обратной функции

196

95.

Сводка формул для производных

198

96.

Формула для приращения функции

198

97.

Простейшие правила вычисления производных

199

98.

Производная сложной функции

202

99.

Примеры

203

100.

Односторонние производные

209

101.

Бесконечные производные

209

102.

Дальнейшие примеры особых случаев

211

§ 2. Дифференциал

211

103.

Определение дифференциала

211

104.

Связь между дифференцируемостью и существованием

213

производной

105.

Основные формулы и правила дифференцирования

215

106.

Инвариантность формы дифференциала

216

107.

Дифференциалы как источник приближенных формул

218

108.

Применение дифференциалов при оценке погрешностей

220

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления

223

109.

Теорема Ферма

223

110.

Теорема Дарбу

224

111.

Теорема Ролля

225

112.

Формула Лагранжа

226

113.

Предел производной

228

114.

Формула Коши

229

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков

231

115.

Определение производных высших порядков

231

116.

Общие формулы для производных любого порядка

232

117.

Формула Лейбница

236

118.

Примеры

238

119.

Дифференциалы высших порядков

241

120.

Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших

242

порядков

121.

Параметрическое дифференцирование

243

122.

Конечные разности

244

§ 5. Формула Тейлора

246

123.

Формула Тейлора для многочлена

246

124.

Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме

248

Пеано

125.

Примеры

251

126.

Другие формы дополнительного члена

254

127.

Приближенные формулы

257

§ 6. Интерполирование

263

128.

Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа

263

129.

Дополнительный член формулы Лагранжа

264

130.

Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита

265

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ

ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Изучение хода изменения функции

268

131.

Условие постоянства функции

268

132.

Условие монотонности функции

270

133.

Доказательство неравенств

273

134.

Максимумы и минимумы; необходимые условия

276

135.

Достаточные условия. Первое правило

278

136.

Примеры

280

137.

Второе правило

284

138.

Использование высших производных

286

139.

Разыскание наибольших и наименьших значений

288

140.

Задачи

290

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции

294

141.

Определение выпуклой (вогнутой) функции

294

142.

Простейшие предложения о выпуклых функциях

296

143.

Условия выпуклости функции

298

144.

Неравенство Иенсена и его приложения

301

145.

Точки перегиба

303

§ 3. Построение графиков функций

305

146.

Постановка задачи

305

147.

Схема построения графика. Примеры

306

148.

Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты

308

149.

Примеры

311

§ 4. Раскрытие неопределенностей

314

150.

Неопределенность вида 0/0

314

151.

Неопределенность вида ∞/ ∞

320

152.

Другие виды неопределенностей

322

§ 5. Приближенное решение уравнении

324

153.

Вводные замечания

324

154.

Правило пропорциональных частей (метод хорд)

325

155.

Правило Ньютона (метод касательных)

328

156.

Примеры и упражнения

331

157.

Комбинированный метод

335

158.

Примеры и упражнения

336

ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Основные понятия

340

159.

Функциональная зависимость между переменными. Примеры

340

160.

Функции двух переменных и области их определения

341

161.

Арифметическое n-мерное пространство

345

162.

Примеры областей в n-мерном пространстве

348

163.

Общее определение открытой и замкнутой области

350

164.

Функции n переменных

352

165.

Предел функции нескольких переменных

354

166.

Сведение к случаю варианты

356

167.

Примеры

358

168.

Повторные пределы

360

§ 2. Непрерывные функции

362

169.

Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных

362

170.

Операции над непрерывными функциями

364

171.

Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши

365

172.

Лемма Больцано—Вейерштрасса

367

173.

Теоремы Вейерштрасса

369

174.

Равномерная непрерывность

370

175.

Лемма Бореля

372

176.

Новые доказательства основных теорем

373

176.

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

373

177.

Частные производные и частные дифференциалы

375

178.

Полное приращение функции

378

179.

Полный дифференциал

381

180.

Геометрическая интерпретация для случая функции двух

383

переменных

181.

Производные от сложных функций

386

182.

Примеры

388

183.

Формула конечных приращений

390

184.

Производная по заданному направлению

391

185.

Инвариантность формы (первого) дифференциала

394

186.

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

396

187.

Однородные функции

399

188.

Формула Эйлера

400

§ 4. Производные в дифференциалы высших порядков

402

189.

Производные высших порядков

402

190.

Теорема о смешанных производных

404

191.

Обобщение

407

192.

Производные высших порядков от сложной функции

408

193.

Дифференциалы высших порядков

410

194.

Дифференциалы сложных функций

413

195.

Формула Тейлора

414

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения

417

196.

Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые

417

условия

197.

Достаточные условия (случай функции двух переменных)

419

198.

Достаточные условия (общий случай)

422

199.

Условия отсутствия экстремума

425

200.

Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры

427

201.

Задачи

431

ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ

ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Формальные свойства функциональных определителей

441

202.

Определение функциональных определителей (якобианов)

441

203.

Умножение якобианов

442

204.

Умножение функциональных матриц (матриц Якоби)

444

§ 2. Неявные функции

447

205.

Понятие неявной функции от одной переменной

447

206.

Существование неявной функции

449

207.

Дифференцируемость неявной функции

451

208.

Неявные функции от нескольких переменных

453

209.

Вычисление производных неявных функций

460

210.

Примеры

463

§ 3. Некоторые приложения теории неявных функции

467

211.

Относительные экстремумы

467

212.

Метод неопределенных множителей Лагранжа

470

213.

Достаточные для относительного экстремума условия

472

214.

Примеры и задачи

473

215.

Понятие независимости функций

477

216.

Ранг матрицы Якоби

479

§ 4. Замена переменных

483

217.

Функции одной переменной

483

218.

Примеры

485

219.

Функции нескольких переменных. Замена независимых

488

переменных

220.

Метод вычисления дифференциалов

489

221.

Общий случай замены переменных

491

222.

Примеры

493

ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Аналитическое представлеяне кривых и поверхностей

503

223.

Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах)

503

224.

Примеры

505

225.

Кривые механического происхождения

508

226.

Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры

511

227.

Поверхности и кривые в пространстве

516

228.

Параметрическое представление

518

229.

Примеры

520

§ 2. Касательная и касательная плоскость

523

230.

Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах

523

231.

Примеры

525

232.

Касательная в полярных координатах

528

233.

Примеры

529

234.

Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к

530

поверхности

235.

Примеры

534

236.

Особые точки плоских кривых

535

237.

Случай параметрического задания кривой

540

§ 3. Касание кривых между собой

542

238.

Огибающая семейства кривых

542

239.

Примеры

545

240.

Характеристические точки

549

241.

Порядок касания двух кривых

551

242.

Случай неявного задания одной из кривых

553

243.

Соприкасающаяся кривая

554

244.

Другой подход к соприкасающимся кривым

556

§ 4. Длина плоской кривой

557

245.

Леммы

557

246.

Направление на кривой

558

247.

Длина кривой. Аддитивность длины дуги

560

248.

Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги

562

249.

Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной

565

§ 5. Кривизна плоской кривой

568

250.

Понятие кривизны

568

251.

Круг кривизны и радиус кривизны

571

252.

Примеры

573

253.

Координаты центра кривизны

577

254.

Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты

578

255.

Свойства эволют и эвольвент

581

256.

Разыскание эвольвент

585

ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ

257.

Случай функции одной переменной

587

258.

Постановка задачи для двумерного случая

588

259.

Вспомогательные предложения

590

260.

Основная теорема о распространении

594

261.

Обобщение

595

262.

Заключительные замечания

597

Алфавитный указатель

600

Алфавитный указатель

Абсолютная величина 14, 31, 34

Бесконечно большая величина 54,

Абсолютный экстремум 469

117

Алгебраическая функция 448

- - - классификация 145

Аналитический способ задания

- - - порядок 145

функции 97, 98

- малая величина 47, 117

Аналитическое выражение функции

- - - высшего порядка [обозначение

98

O(α)] 136, 137

- представление кривых 503, 517

- - - классификация 136

- - поверхностей 517

- - - леммы 57

Аномалия (эксцентрическая) планеты

- - - порядок 137

174

- - - эквивалентность 139

Аргумент функции 95, 341

Бесконечность (+∞,−∞) 26, 55

Арифметическое значение корня

Бесконечный промежуток 94, 308

(радикала) 36, 103

- разрыв 309

- пространство 345

Бойля—Мариотта закон 94

Арксинус, арккосинус и т. д. 110

Больцано 84

Архимед 64

Больцано метод 88

Архимеда аксиома 16, 34

Больцано—Вейерштрасса лемма 87,

Архимедова спираль 512, 529

367

Асимптота 309

Больцано—Коши теоремы 1-я и 2- я

Асимптотическая точка 513, 514

168, 171, 182, 366

Астроида 506, 511, 526, 546, 573, 583

- - условие 84, 134

Барометрическая формула 95

Бореля лемма 181, 372

Бернулли, Иоанн 206, 314

Варианта 44, 344

- Яков 38

- возрастающая (неубывающая) 70

- лемниската 515, 530, 575, 577

- имеющая предел 52

Бесконечная десятичная дробь 22

- как функция значка 96

- производная 209