TP 2

Образец выполнения тренировочной работы № 2.

Задание 1. Вычислить

приращение

функции f (x)

1

в точке

x0 1 ,

x 2

соответствующее приращению аргумента x 0,02 .

Решение:

Воспользуемся формулой: f (x) f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) . Для данной

функции получим: f (x)

1

1

1

1

0,0404

101

.

0,02)

2

2

1,0404

1,0404

(1

1

2601

Задание 2. Найти производные функций:

2.1.

y

e x e x

2

Решение:

Воспользуемся

правилом

дифференцирования

произведения двух

функций:

(uv) u v uv

y

(e x ln x) e x

e x

. Получим

ln x

.

x

2.4. y arccos

1

.

x3

Решение:

Снова

используем

формулу

производной

сложной

функции:

(u) u (x).

Получим:

f u x f

y (arctg

1

)

1

(

1

)

x 4

(

2

)

2x

.

x 2

x 2

x 4 1

1

x 3

x 4 1

1

x 4

Задание

3. Продифференцировать

неявно

заданную

функцию

y

yt

. Получим:

y

(2 cos t 2 )

4t sin t 2

4t sin t 2

.

x

xt

x

(sin t 3t)

cos t 3

3 cos t

Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение

выражения 5 31 .

Решение:

Используем приближённое равенство:

f (x) df (x) f (x) x , верное при малых

значениях x . Откуда:

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x .

1

) 25 1

1

.

Преобразуем сначала

исходное

выражение:

5

31 5 32 1 5

32(1

32

32

1

. Производная

f (x)

1

, f (1)

Положим f (x) 5

x , x0 1 , x

равна:

1.

32

55

x4

Окончательно имеем: 5

2(1 1 (

1

))

31

1

15

.

31

32

16

16

Задание 6. Найти вторую производную функции y

x

.

x2

1

Решение:

x

x2 1 2x2

1 x2

Сначала находим первую производную: y

.

x2 1

(x2 1)2

(x2

1)2

1 x2

2x(x2 1)2 4x(1 x2 )(x

2 1)

Вычисляем вторую производную:

y

2

2

2

4

(x

1)

(x

1)

2x(x 2

1) 4x(1 x 2 )

2x3

2x 4x 4x3

2x3

2x

2x(x 2 1)

.

(x 2 1)3

(x 2 1)3

(x 2

1)3

(x 2 1)3

Запишем

уравнение

касательной:

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

В нашем

случае

2

2

x ,

f (x0 ) sin

3

,

f (x0 ) 2 cos

1.

Подставляем

в уравнение:

y

3

3

2

3

2

3

откуда y x

3

- уравнение касательной.

3

2

Запишем уравнение нормали: y f (x0 )

1

(x

x0 ) . Подставив в это уравнение

f (x0 )

) , откуда

числовые данные:

y

3

(x

y x

3

- уравнение нормали.

2

3

3

2

Задание 8. Найти производную функции

y (sin x)sin x

с

помощью

логарифмического дифференцирования.

Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной:

y f (x) (ln f (x)) . В

нашем

случае:

y (sin x)sin x ln y ln(sin x)sin x

y

(ln(sin x)sin x ) y y (sin x ln(sin x))

y

бесконечный разрыв, так как lim

ln x

.

x 0 x

Так как в точке x 0 функция имеет бесконечный разрыв, то прямая

x 0

является вертикальной

асимптотой.

Найдем уравнение наклонной асимптоты

y kx b (если она существует).

1

ln x

1

k lim

lim

x

lim

0 ;

x 2

x

x 2x

x 2x 2

1

ln x

ln x

1

b lim(

0 x) lim

lim

x

lim

0 .

x

x

x x

x

1

x x

Итак, k b 0 и уравнение асимптоты

y 0 при x . Таким образом,

график имеет в качестве асимптот оси координат.

4) Найдем производную функции и критические точки:

y

1 ln x

. Стационарная критическая точка:

x e . Исследуем знак производной

x2

функцию:

y (

1

x3

4x 5) x2 4 .

Найдём

критические

точки:

3

y 0 x2

4 0 x 2 . Одна из них,

x 2 ,

принадлежит рассматриваемому

промежутку. Определим значение функции на концах отрезка и в точке x 2 :

y(0) 5; y(2)

1

; y(3) 2 . Таким образом, min y

1

; max y 5 .

3

0; 3

3

0; 3

Вариант № 1.

Задание 1. Вычислить приращение функции

f (x) x2 в точке

x0 0 ,

соответствующее приращению аргумента x 0,02 .

Задание 2. Найти производные функций:

e x

y arccos

1

.

2.1. y

. 2.2. y cos sin x . 2.3. y x2

ln x . 2.4.

e x

2

x3

Задание

3.

Продифференцировать

неявно

заданную

функцию

xy 3 4xy x2 2 0 .

1

Задание 6. Найти вторую производную функции

y

.

x2 1

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

y cos 3x в точке x0

.

6

Задание 8.

Найти производную функции y xsin x с помощью

Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y

1

на

x 2

отрезке 1;3 .

Вариант № 2.

Задание

1. Вычислить

приращение функции

f (x) x3

в точке x0 0 ,

соответствующее приращению аргумента x 0,02 .

Задание 2. Найти производные функций:

e x 1

2

1

2.1.

y

. 2.2. y cos x

3

. 2.3. y x

ln(x 4) . 2.4. y arcsin

.

e x e x

x3

y

x

Задание 6. Найти вторую производную функции

.

x2 1

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

y cos 5x в точке x0 .

6

Задание 8. Найти производную функции

y (cos x)sin x с помощью

логарифмического дифференцирования.