Лабораторные по физике

Таблица 7.3 − Момент инерции параллелепипеда 1

7.5.5 Расположите прямоугольные параллелепипеды симметрично относительно центра платформы (штифты параллелепипедов должны вхо-

Таблица 7.5 − Момент инерции параллелепипедов 1 и 2

81

дить в соответствующие отверстия в платформе). Определить момент инерции каждого параллелепипеда относительно оси прибора по формуле (7.18):

J = ( JΣ - Jпл ) /2.

Провести опыт для расстояний h от центра платформы 20,40,60,70 мм. Результаты занести в таблицу 7.6.

Таблица 7.6 − Проверка теоремы Штейнера

1

0.022

3

1

0.042

3

1

0.062

3

1

0.072

3

7.5.6Вычислить момент инерции Jтеор платформы, цилиндра и параллелепипедов по формулам (7.7), (7.8) и сравнить их с экспериментально

полученными значениями Jэксп. Оценить абсолютные J и относительные погрешности. Данные расчётов занести в соответствующие таблицы.

7.5.7Сравнить экспериментально полученные в п. 7.5.6 результаты с вычисленными по теореме Штейнера. Оценить погрешности.

7.5.8Построить график зависимости экспериментально найденных значений момента инерции параллелепипеда J от расстояния h между осью прибора и осью, проходящей через центр тяжести параллелепипеда.

7.5.9Рассчитать теоретически, используя свойство аддитивности, суммарный момент инерции J двух параллелепипедов

J = J + J

исравнить с экспериментально измеренными , как в. 7.5.4.

7.5.10Сделать выводы по работе.

82

7.6 Контрольные вопросы

7.6.1 Напишите основное уравнение динамики вращательного движе-

ния.

7.6.2Чему равен момент инерции тела?

7.6.3Что означает свойство аддитивности момента инерции?

7.6.4Сформулируйте теорему Штейнера.

7.6.5Дайте определение центра инерции системы.

7.6.6Напишите формулы для момента инерции цилиндра и параллелепипеда.

7.6.7Запишите уравнение движения платформы трифилярного подвеса.

7.6.8Какие колебания называются гармоническими?

7.6.9Чему равен период крутильных колебаний трифилярного подвеса?

7.6.10Запишите рабочую формулу для определения момента инерции.

Литература

1Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1982.

2Сивухин Д.В. Общий курс физики. – М.: Наука, 1979.

3Руководство к лабораторным занятиям по физике. / Под ред. Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1973.

4Физический практикум. / Под ред. И.С. Ромченко. – М.: МИФИ, 1970.

83

8 Определение коэффициента теплопроводности твердых тел

8.1 Цель работы

Ознакомление с основными положениями теории теплопроводности и методикой экспериментального определения коэффициента теплопроводности твердых тел.

8.2 Основные положения теплопроводности

8.2.1 Понятие теплопроводности и методы ее исследования

Существует три способа переноса тепла: теплопроводность (кондукция), конвекция и излучение (радиация).

Теплопроводность представляет собой процесс распространения тепловой энергии при непосредственном соприкосновении отдельных участков тела, имеющих различные температуры. Так как температура – это мера кинетической энергии структурных частиц тела (молекул, атомов, ионов, свободных электронов), то различие температур двух участков тела свидетельствует о том, что кинетические энергии частиц в этих участках различны. Обмен энергией движения микрочастиц тела приводит к тому, что они передают свою кинетическую энергию из слоя в слой. Таким образом, теплопроводность обусловлена движением микрочастиц тела.

Конвекция возможна только в жидкой среде. Под конвекцией тепла понимают процесс переноса тепловой энергии при перемещении объемов жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой. При этом перенос тепла неразрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение – это процесс распространения тепловой энергии путем электромагнитных волн. При тепловом излучении происходит двойное превращение энергии – тепловая энергия излучающего тела переходит в лучистую и обратно, лучистая энергия, поглощаясь телом, переходит в тепловую.

Вприроде и технике элементарные процессы распространения тепла – теплопроводность, конвекция и тепловое излучение – очень часто происходят совместно. Теплопроводность в чистом виде большей частью имеет место лишь в твердых телах. В жидкостях и газах чистая теплопроводность может быть реализована при выполнении условий, исключающих перенос тепла конвекцией.

Всоответствии с представлениями современной физики явление перено-

са теплоты может быть исследовано и описано с двух точек зрения: феноменологической и статистической. В дальнейшем при изложении теории будут использованы результаты феноменологической термодинамики [1]. Феноме-

84

нологическое описание основано на установлении некоторых общих соотношений между параметрами, определяющими рассматриваемое физическое явление в целом. Роль этих соотношений, установленных опытом, для феноменологического пути настолько важна, что они, как правило, называются законами. Феноменологические законы носят весьма общий характер, а роль конкретной физической среды учитывается только коэффициентами пропорциональности – коэффициентами переноса, также определяемыми экспериментально. Феноменологическая теория теплопроводности игнорирует молекулярное строение вещества: она рассматривает вещество не как совокупность отдельных дискретных частиц, а как сплошную среду-континуум. Такое модельное представление вещества может быть принято при решении задач распространения тепла, если размеры дифференциальных объемов достаточно велики по сравнению с размерами молекул и расстояниями между ними.

Другой путь исследования физического явления основан на изучении внутреннего строения вещества. Этот путь не требует введения дополнительных опытных соотношений, так как вся необходимая информация о явлении заложена в исходных характеристиках вещества. Среда рассматривается как некоторая физическая система, состоящая из огромного числа молекул, ионов и электронов, с заданными свойствами и законами взаимодействия. Получение макроскопических характеристик по заданным микроскопическим свойствам составляет основную задачу такого метода, называемого статистическим. Этот метод является гораздо более общим, нежели феноменологический. В частности, он позволяет получать феноменологические соотношения и выражения для коэффициентов переноса [1]). Принципиальным моментом статистического метода является его сложность; знакомство с ним выходит за рамки данной работы.

8.2.2 Температурное поле

Всякое физическое явление, в том числе и процесс теплопередачи, происходит в пространстве и времени. Поэтому феноменологическое (аналитическое) исследование теплопроводности сводится к изучению простран- ственно-временного изменения основной физической величины – температуры, характерной для данного явления, то есть к нахождению зависимости

где x,y,z – пространственные координаты в декартовой системе; t – время. Совокупность мгновенных значений температуры во всех точках

изучаемого пространства называется температурным полем. Различают стационарное и нестационарное температурные поля.

85

Нестационарным температурным полем называется такое поле, температура которого изменяется не только в пространстве, но и с течением времени или, как образно говорят, “температура есть функция пространства и времени” (неустановившееся состояние). Уравнение (8.1) есть математическая запись нестационарного температурного поля.

Стационарным температурным полем называется такое поле, температура которого в любой его точке не изменяется во времени, то есть является функцией только координат (установившееся состояние):

В некоторых задачах нестационарное температурное поле переходит асимптотически в стационарное, когда t→∞.

Температурное поле, соответствующее уравнениям (8.1) или (8.2), является пространственным (трехмерным), так как T есть функция трех координат. Если температура есть функция двух координат, то поле

Если же температура есть функция одной координаты, то поле называется одномерным:

Примером одномерного температурного поля может служить поле неограниченной пластины (пластина, ширина и длина которой очень велики по сравнению с толщиной) при распространении тепла перпендикулярно к ее поверхности.

8.2.3 Температурный градиент

Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности не пересекаются. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком располагаются внутри самого тела.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (линии, соответствующие одинаковой температуре). Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, то есть не пересекаются, не обрываются внутри тела,

86

оканчиваются на поверхности, либо целиком располагаются внутри самого тела. На рисунке 8.1 приведены изотермы, температуры которых отличаются на T.

Вдоль изотермы температура не изменяется, в любом другом направлении температура изменяется. Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры (grad T).

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению, то есть

где n0 – единичный вектор, направленный по нормали к изотермической

поверхности; ∂T/∂n – производная температуры по нормали (n). Градиент обозначается также символом (набла).

Скалярная величина температурного градиента ∂T/∂n не одинакова для различных точек изотермической поверхности. Она больше там, где расстояние n между изотермическими поверхностями меньше. Скалярную величину температурного градиента ∂T/∂n называют величиной температурного градиента. Величина ∂T/∂n в направлении убывания температуры отрицательна. Проекции вектора grad T ( T) на координатные оси OХ, ОY, OZ будут равны:

87

Составляющие градиента по осям декартовых координат равны соответствующим частным производным, так что

где i , j,k – ортогональные между собой векторы единичной длины,

направленные по координатным осям. Cоотношение (8.4) обусловлено тем обстоятельством, что любой вектор можно представить как векторную сумму трех векторов, направленных по координатным осям.

8.2.4 Тепловой поток. Закон Фурье

Необходимым условием распространения тепла является неравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде. Таким образом, для передачи тепла теплопроводностью необходимо наличие температурного градиента. Опыт показывает, что передача тепла теплопроводностью происходит по нормали к изотермической поверхности от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой.

Согласно гипотезе Фурье количество тепла dQ, Дж, проходящее через элемент изотермической поверхности dS за промежуток времени dt, пропорционально температурному градиенту ∂T/∂n:

Опытным путем установлено, что коэффициент пропорциональности λ в уравнении (8.5) есть физический параметр вещества. Он характеризует способность вещества проводить тепло и называется коэффициентом теплопроводности.

Количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности q = dSdQdt , называется плотностью

теплового потока. Плотность теплового потока есть вектор, определяемый соотношением:

88

изотермической поверхности. Его положительное направление совпадает с направлением убывания температуры, так как тепло всегда передается от более горячих частей тела к холодным. Таким образом, векторы qr и grad T

лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Это и объясняет наличие знака минус в правых частях уравнений (8.5) и (8.6).

Линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора q ,

называются линиями теплового тока. Линии теплового тока перпендикулярны к изотермическим поверхностям в точках пересечения с ними, как видно на рисунке 8.2.

Скалярная величина вектора плотности теплового потока равна

Многочисленные опыты подтвердили справедливость гипотезы Фурье. Поэтому уравнение (8.5), а равно и уравнение (8.6), являются математической записью основного закона теплопроводности, который форму-

лируется следующим образом: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры.

8.2.5 Коэффициент теплопроводности

Как было сказано, коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества в отношении его способности к теплопроводности. В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от температуры, давления и рода вещества. Известен ряд методов экспериментального определения коэффициента теплопроводности. Большинство из них основано на измерении теплового потока и градиента температур в заданном веществе. Коэффициент теплопроводности при этом определяется из соотношения:

Чтобы выяснить физический смысл коэффициента теплопроводности, напишем основное соотношение (8.6) для стационарного одномерного температурного поля. В этом случае температура зависит только от одной координаты – нормали к изотермическим поверхностям. Выберем

89

направление оси х и нормали в сторону убывания температуры. Тогда величина вектора теплового потока будет равна

Если градиент температуры будет величиной постоянной (dT/dx = const), что означает изменение температуры с увеличением х по линейному закону, то можно написать:

Отсюда следует, что мощность теплового потока dQ/dt будет величиной постоянной:

где Q – количество тепла, протекающего за время t . Следовательно, на основании формул (8.5) - (8.10) можно написать:

так как T1 > T2 , а x2 > x1 .

Таким образом, коэффициент теплопроводности равен количеству тепла, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, при перепаде температуры на единицу длины нормали, равном одному кельвину (градусу).

Теплопроводность в газах и парах в значительной мере обусловлена молекулярным переносом кинетической энергии движения молекул, поэтому вполне естественно, что коэффициенты λ для газов и паров малы.

В жидкостях механизм распространения тепла теплопроводностью аналогичен механизму переноса звуковой энергии в упругой среде, то есть может быть описан как процесс распространения продольных волн. Поэтому

90