Лекция1_prezent
.pdf
Спектр периодического сигнала
Найдем спектр сигнала: Сигнал – меандр
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
11 |
Спектр периодического сигнала
|
|
|
1 /2 |
|
|
|
A |
|
sin( nF ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Cn |
|
|
|
|
|
Ae |
|
jn |
1t |
dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
T |
|
|
|
|
|
T |
|
nF |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
1 |
|
|
1 |
|
|
- |
фундаментальная частота (первая гармоника) |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U0 |
|
A |
|
A |
|
|
, где |
|
|
q |
T |
|
- скважность |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
sin( nF ) |
|
|
|
A |
||||||
Спектр Фурье: |
|
|
u(t) |
|
|
|
|
1 |
e |
jn 1t |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
T |
|
nF |
|
q |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
12 |
Спектр периодического сигнала
Спектр линейчатый, так как функция периодическая
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
13 |
Спектр периодического сигнала
Чем больше период, тем гуще спектр. Чем короче импульс, тем более широкий диапазон частот занимает.
Чтобы спектр был точным нужно рассматривать бесконечный промежуток времени, а мы суммируем всегда на конечном интервале → будут дырки.
Функция должна удовлетворять условию Дирихле, т.е. иметь непрерывные производные до определенного порядка.
Рассматриваемые нами функции этим условиям не удовлетворяют.
Короткие сигналы (например, фронты) имеют широкие (быстро изменяющиеся спектры).
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
14 |
Спектр периодического сигнала
Чаще рисуют модуль:
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
15 |
Спектр непериодического сигнала
Сделаем из непериодической функции периодическую, для этого аналитически продолжим функцию.
x(t) |
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
16 |
Спектр непериодического сигнала
Теперь у нас периодическая функция → раскладываем в ряд Фурье → преобразование Фурье (за спектр при бесконечном
разложении принимается спектр одной части (в пределе)).
s( ) x(t) e j tdt - прямое преобразование Фурье
|
1 |
|
j t |
|
x(t) |
|
s( ) e |
|
d - обратное преобразование Фурье |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
Для большинства функций эти функции не существуют!
Если сигнал физически существует, то модуль спектра всегда функция четная и симметричная относительно системы координат, а фаза всегда нечетная.
Если спектр симметричен, то сигнал действительный. Если спектр несимметричен, то сигнал мнимый.
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
17 |
Спектр непериодического сигнала
Скачок (из-за разрыва на концах отрезка) дает паразитные явления – явления Гиббса.
Метод борьбы – использование окна. Чтобы убрать искажения надо умножить функцию на «окно». «Окно» сглаживает место стыковки.
x (t) x(t) O(t) , где O(t) – функция окна. Используют различную форму окон – прямоугольное, треугольное и т.д. Требования, предъявляемые к функции окна
– как можно больше производных равны нулю (как минимум первые четыре производные зануляются).
x(t) |
|
x(t) |
|
|
|
Примеры окон:
t |
|
t |
|
|
|
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
18 |
Задачи
1. Посчитать спектр Фурье периодической
функции:
x(t) um cos 0t
2. Посчитать спектр от части косинуса (непериодическая функция):
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
19 |
Дельта-функция Дирака
δ-функция определяется: δ(х)=0, если х≠0
δ(х)→∞, если х=0
(x) dx 1
Отсюда следует единственное полезное свойство δ-функции –
стробирующее (фильтрующее) свойство:
(x a) f (x) dx f (a)
δ-функция – это производная единичного скачка:
t
δ(х)=e’(x) |
e(t) (x)dx |
|
|
Микросхемотехника(часть 2) 2013 |
20 |