Praktikum_po_teorii_algoritmov-2011

Теорема 2.19 (парадокс Рассела). Пусть В – множество всех множеств, которые не содержат самих себя в качестве своих собственных элементов. Тогда можно доказать две теоремы: В принадлежит В, и В не принадлежит В.

2.3. Вычислимость чисел

Действительное число вычислимо, если существует алгоритм его вычисления с любой степенью точности

Множество вычислимых действительных чисел обозначим сокращенно ВДЧ, а множество вычислимых трансцендентных чисел – ВТЧ.

Какие же числа являются вычислимыми? Рассмотрим определенные ранее множества чисел.

Натуральные числа вычислимы по определению.

Рассмотрим множество целых чисел. По определению, это такое множество Z, которое содержит в себе: все натуральнее числа, все числа, противоположные натуральным и число 0 (ноль). При этом противоположными называются такие числа a и b, что a + b = 0. Необходимость использования множества Z обусловлена тем, что результат вычитания двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. В таком случае говорят: «множество N не замкнуто относительно вычитания». Так, 5−3 = 2 – это натуральное число, но 8−17 = − 9 – число не натуральное. Множество Z, являясь расширением множества N, замкнуто относительно операции вычитания. Более того, множество Z − минимально возможное расширение множества N, которое обладает свойством замкнутости. Отсюда следует, что существует алгоритм порождения любого целого числа из двух натуральных, а значит, все целые числа вычислимы.

Аналогично, учитывая, что рациональное число – это число вида q = mn , где n – целое число, m – натуральное, а для операции

деления существует четкий алгоритм, получим, что все

рациональные числа вычислимы.

Следующий класс – алгебраические числа. Исходя из определения алгебраического числа как действительного корня

61

алгебраического уравнения ненулевой степени с рациональными коэффициентами и с учетом того факта, что для решения таких уравнений существует алгоритм (точнее, несколько алгоритмов, основанных на методах Ньютона, Лобачевского, Лина и других), можно также утверждать, что все алгебраические числа вычислимы.

Чтобы разобраться с вычислимость чисел дальше, обратим внимание на следующий факт. Для вычисления каждого вычислимого числа по определению существует алгоритм, возможно не один. Алгоритмов существует счетное множество. Отсюда получим, что вычислимых чисел никак не больше, чем алгоритмов. Отсюда получаем следующую теорему.

Теорема 2.20. Множество вычислимых действительных чисел счетно.

Однако всего действительных чисел – несчетное множество

(рис. 2.8).

Следовательно, верна теорема 2.21.

Теорема 2.21. Существуют невычислимые действительные числа и их несчетное множество.

Приведем пример невычислимого действительного числа. Пусть имеются Тi,……,Тn,…, где Тi – i-я машина Тьюринга. Действительное число Х можно представить так:

Х = 0,a1,……,an…., где

1, если Тi останавливается на чистой ленте;

ai =

0, в противном случае.

Такое число является невычислимым, так как задача об остановке машины Тi на чистой ленте алгоритмически не разрешима.

62

Таблица 2.1 Счетность и эффективная перечислимость основных

числовых множеств

Задача П.2.2. Основываясь на табл. 2.1 и операциях над числовыми множествами (объединения, пересечения и разности), заполните табл. 2.2. В столбцах «Счетность» и «Эффективная перечислимость» напишите «да» или «нет», в столбце «Мощность» укажите конкретное кардинальное число.

64

Продолжение табл. 2.2

Задача П.2.3. Основываясь на табл. 2.1, операциях над числовыми множествами (декартова произведения и возведения в степень), заполните табл. 2.3. В столбцах «Счетность» и «Эффективная перечислимость» напишите «да» или «нет», в столбце «Мощность» укажите конкретное кардинальное число.

Таблица 2.3 Счетность и эффективная перечислимость прочих множеств

65

Задача П.2.4. Основываясь на табл. 2.1, операциях над числовыми множествами и определении булеана, заполните табл. 2.4. В столбце «Счетность» и «Эффективная перечислимость» напишите «да» или «нет», в столбце «Мощность» укажите конкретное кардинальное число.

66

Продолжение табл. 2.4

Задача П.2.5. Заполните табл. 2.5. В столбцах «Счетность» и «Эффективная перечислимость» напишите «да» или «нет», в столбце «Мощность» укажите конкретное кардинальное число.

67

Продолжение табл. 2.5

4 Множество всех конечных подмножеств счетного множества

5Множество всех четырехугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны

6Множество всех многоугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны

7Множество всех многочленов с действительными коэффициентами

8Множество всех действительных чисел, в десятичном разложении которых встречается цифра 3

9Множество всех действительных чисел, в десятичном разложении которых не встречается цифра 6

10 Множество всех сыгранных когда-либо кем-либо музыкальных произведений

Задача П.2.6. Произведите операции над трансфинитными числами и впишите ответ в табл. 2.6. Важно! Результатом должно быть элементарное трансфинитное число, без использования

степенных функций ( χ0 , χ, χ1 ).

68

Задача П.2.7. Определите принадлежность элементов к указанным множествам, поставив «+» или «–» в соответствующих клетках таблицы.

Таблица 2.7

Принадлежность элементов к множествам

№ Число R\Q T∩A Р((Z \N*) P(R*R) (R\Z)\T Q Р((N*\N)∩Т)

N)

15/6

20

69

Продолжение табл.2.7

№ Число R\Q T∩A Р((Z \N*) P(R*R) (R\Z)\T Q Р((N*\N)∩Т)

N)

33

4π

5(8,2)

6Ø

7{2}

8{1/3}

9{(2,π)} 10 {8,2}

114

12-3

13{1, 3, 5}

142 3

152 3

70