Praktikum_po_teorii_algoritmov-2011

3

4

ГЛАВА 1. ФОРМАЛЬНЫЕ ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ

1.1. Классические машины Тьюринга

1.1.1. Теоретическая основа

Предписание считается алгоритмом, если оно обладает следующими свойствами:

•определенностью, т.е. общепонятностью и точностью, не оставляющими место произволу;

•массовостью – возможностью исходить из меняющихся в известных пределах значений исходных данных;

•результативностью – направленностью на получение искомого результата;

•элементарностью шагов, на который разбивается последовательность операций.

Каждый алгоритм, в общем случае, должен задаваться следующими параметрами:

•множеством допустимых исходных данных;

•начальным состоянием;

•множеством допустимых промежуточных состояний;

•правилами перехода из одного состояния в другое;

•множеством конечных результатов;

•конечным состоянием.

Машина Тьюринга – абстрактная (воображаемая) "вычислительная машина" некоторого точно охарактеризованного типа, дающая пригодное для целей математического рассмотрения уточнение общего интуитивного представления об алгоритме.

Тезис Тьюринга: любой алгоритм можно преобразовать в машину Тьюринга.

Классической моделью считается одноленточная машина Тьюринга – кибернетическое устройство, состоящее из следующих элементов:

•бесконечной ленты, разделенной на ячейки;

5

•управляющей головки, способной читать символы, содержащиеся в ячейках ленты, и записывать символы в эти ячейки;

•выделенной ячейки памяти, содержащей символ внутреннего алфавита, задающий состояние машины Тьюринга;

•механического устройства управления, обеспечивающего перемещение головки относительно ленты;

•функциональной схемы – области памяти, содержащей команды (программу) машины Тьюринга (эта область доступна только для чтения).

Текущим состоянием машины Тьюринга или ее конфигурацией будем называть совокупность, образованную содержимым текущей

обозреваемой ячейки aj и состоянием внутренней памяти Si. Обычно машина Тьюринга схематично изображается в виде

ленты с отмеченной указателем ячейкой (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схематичное изображение одноленточной машины Тьюринга

1.1.2. Программы для одноленточных машин Тьюринга

Условимся обозначать буквой А внешний алфавит, т.е. те символы, из которых может состоять входное слово, σ – начальный символ, λ – пустой символ.

Условимся обозначать заглавными латинскими буквами с индексами внутренний алфавит (например, S0, S1, A0, A1 и т.д.), Ω – конечное состояние, Ω1 – конечное состояние с выводом сообщения об ошибке.

Условимся записывать команду в следующем виде:

A a Æb (R,L,H) B,

6

где A, B – элементы внутреннего алфавита; a, b – элементы внешнего алфавита;

(R, L, H) – одна из возможных команд перемещения управляющей головки:

R – перемещение управляющей головки на одну ячейку вправо; L – перемещение управляющей головки на одну ячейку влево; H – управляющая головка остаётся неподвижной.

При составлении алгоритма следует обратить внимание на следующие условия задачи:

•необходимо ли проверять, что входная строка не пустая;

•должно ли входное слово остаться неизменным в результате

выполнения алгоритма.

Кроме того, желательно соблюдать несколько рекомендаций:

•выбирать названия элементов внутреннего алфавита в соответствии с действиями, которые должна выполнять машина, попав в данное состояние;

•минимизировать внутренний алфавит;

•по возможности не слишком сильно расширять внешний алфавит;

•минимизировать количество строк в алгоритме.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1.1. A = {a, b}. Заменить во входном слове все символы

“a” на “b”.

Пример (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Пример замены символов

7

S0 λ → λ H Ω // если слово пустое или слово закончилось, то // останавливаемся и завершаем программу.

Задача 1.2. A = {0, 1}. Записать в конце слова 1. Если слово пустое – вывести сообщение об ошибке (отметив заключительное состояние как Ω1).

Пример (рис. 1.3):

Рис. 1.3. Пример записи в конце слова Решение. Движемся вправо, пока не встретим символ пустой

ячейки, что означает – слово закончилось, и записываем на его место 1.

S0 σ → σ R S0;

S0 λ → 1 H Ω1 // если слово пустое, то останавливаемся, вывод // сообщения об ошибке Ω1;

S0 1 → 1 R S1;

S0 0 → 0 R S1;

S1 1 → 1 R S1;

S1 0 → 0 R S1;

S1 λ→ 1 H Ω.

Задача 1.3. A = {0, 1}. После слова записать первую букву слова. Если слово пустое – вывести сообщение об ошибке (отметив заключительное состояние как Ω1).

Пример (рис. 1.4.):

Рис. 1.4. Пример записи после слова первого символа Решение. В данной задаче нужно запомнить первый символ

слова. Для этого используем разные состояния машины.

8

Многие программы удобно представлять в виде таблицы, где на пересечении соответствующего состояния и символа указываются действия, которые должна выполнить МТ. Обозначим × невозможность появления данной конфигурации. Решение задачи 1.3 в таком формате представлено в табл. 1.1.

Таблица 1.1 Табличное представление программы для задачи 1.3

Также программу можно оформлять в виде группировки по состояниям, решение задачи 1.3 в таком формате представлено в табл. 1.2.

Таблица 1.2 Табличное представление программы для задачи 1.3

9