Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Baskakov_Nesobstvennye_integraly_2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

А.В. Баскаков, Е.В. Сумин

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебно-методическое пособие

Москва 2014

УДК 517.382(07) ББК 22.161.1я7 Б 27

Баскаков А.В., Сумин Е.В. Несобственные интегралы: учебно-

методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2014. – 52 с.

Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие к практическим занятиям по специальным разделам математического анализа.

В работе разбираются несобственные интегралы с бесконечным промежутком интегрирования (1-го рода) и от неограниченной функции на конечном промежутке интегрирования (2-го рода). Исследуется абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов, при этом, в частности, используется метод выделения главной части. При вычислении несобственных интегралов используются методы теории функций комплексного переменного. Рассмотрено решение соответствующих примеров и приведены задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов НИЯУ МИФИ, изучающих в курсе математического анализа специальные разделы. Будет также полезно преподавателям, ведущим практические занятия.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. НИЯУ МИФИ А.С. Леонов

ISBN 978-5-7262-1958-5

©Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2014

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определим несобственный интеграл на полуинтервале [a; b) от

функции с единственной особенностью в правом конце.

Пусть функция f (x) задана на конечном полуинтервале [a; b) ,

где a и b – некоторые действительные числа. Допустим, что f (x) интегрируема на любом отрезке [a; b′) , где b′<b и не ограничена в левой полуокрестности точки b (т.е. на интервале (b −ε; b) ). Тогда ее интеграл на [a; b) , или на [a; b] , в обычном смысле (Римана) не

может существовать, потому что интегрируемая по Риману на отрезке [a; b] функция должна быть ограниченной на этом отрезке.

Если же при этом существует конечный предел

		′
	blim′→b b∫ f (x) dx ,
		a
то говорят, что интеграл ∫b		f (x) dx	сходится, а функция f (x) ин-
	a
тегрируема в несобственном смысле на [a; b) , и
∫b			′
∫b	f (x) dx = blim′→b		b∫ f (x) dx .
a			a

В противном случае говорят, что интеграл расходится или не существует как несобственный риманов интеграл, а функция f (x)

неинтегрируема в несобственном смысле на [a; b) .
Допустим теперь, что функция f (x) задана на	полупрямой
[a; +∞) и интегрируема на любом конечном отрезке	′
[a; +∞) и интегрируема на любом конечном отрезке	[a; b ] , где
a <b′<∞ . Если существует конечный предел
′
blim′→+∞ b∫ f (x) dx ,
a
3

то он называется несобственным интегралом от функции f (x) на [a; +∞) , и таким образом,

	′
+∞∫ f (x) dx = blim′→+∞ b∫ f (x) dx .
a	a

В этом случае говорят, что функция f (x) интегрируема в несобственном смысле на [a; +∞) .

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции, заданной на сегменте (a; b] с единственной особенностьюв точкеa.

Пусть функция f (x) определена на множестве [a; c) (c; b] и интегрируема по Риману на отрезках [a; c −ε) и (c +ε; b] для любого ε > 0 , т.е. точка c является единственной особой точкой. Го-

ворят, что интеграл ∫b f (x) dx сходится, если сходятся оба интегра-

		a
ла ∫c	f (x) dx и ∫b	f (x) dx .
a	c

Будем говорить, что функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b] в смысле главного значения, если существует предел

	c−ε		b
ε→lim0+		∫	f (x) dx + ∫	f (x) dx	= J .
		a	c+ε
Этот предел обозначается J =V. P. ∫b				f (x) dx .
			a

В дальнейшем мы будем исследовать на сходимость интегралы от функции f (x) с единственной особенностью на правом конце

рассматриваемого полуинтервала [a; b) , причем точка b может

быть как конечным числом (несобственный интеграл 2-го рода), так и бесконечностью (несобственный интеграл 1-го рода).

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

	1. Линейность		интеграла.		Если		несобственные интегралы
∫b	f (x) dx	и ∫b g(x) dx сходятся,		то для любых чисел α и β сходится
a		a
интеграл ∫b (αf (x) +βg(x)) dx , причем
		a
		∫b (αf (x) +βg(x)) dx = α∫b				f (x) dx +β∫b g(x) dx .
		a			a		a
	2. Формула Ньютона–Лейбница.						Если функция f (x) ,
x [a; b) ,		непрерывна и F(x) ,		x [a; b) , – какая-либо ее первооб-
разная, то
		∫b	f (x) dx = F (x)		ba− = F(b− ) − F(a) ,


		a

где F(b− ) = lim F(x) .

x→b−0

3. Формула замены переменной. Пусть f (x) – непрерывная на сегменте [a; b) функция, а ϕ(t) – непрерывно-дифференцируемая на [α; β) функция, причем для всех t (α; β) справедливо соотно-

шение

a =ϕ(α) ≤ϕ(t) < lim ϕ(t) =b ,

t→b−0

тогда

b	β
	′	(1.1)
∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t) dt .		(1.1)
a	α

Формула (1.1) справедлива в случае сходимости по крайней мере одного из входящих в нее интегралов. В случае расходимости одного из интегралов расходится и другой.

4. Формула интегрирования по частям.	Если u(x) и	υ(x) –
непрерывно-дифференцируемые на [a; b)	функции и	предел
lim (uυ) существует, то
x→b−0

∫b u dυ =uυ			ba−	−∫b υdu ,	(1.2)
					(1.2)

a				a
где
u υ	b−	= lim (uυ) −u(a)υ(a) .
u υ	b−	= lim (uυ) −u(a)υ(a) .
	a	x→b−0
	a

Формула (1.2) справедлива в случае сходимости, по крайней мере, одного из входящих в нее интегралов. Если один из интегралов расходится, то расходится и другой.

Пример 1.1. Вычислить интеграл

+∞∫ dx / xβ

(1.3)

для тех значений параметра β, при которых он сходится.

По определению интеграл (1.3) сходится, если существует конечный предел

A		lim	ln A,			β=1;
A		A→+∞
Alim→+∞ ∫x	−β	A→+∞	1
Alim→+∞ ∫x		dx =	1	1−β
1		lim		( A	−1),	β ≠1.
1		lim	1−β	( A	−1),	β ≠1.
		A→+∞	1−β

Легко видеть, что при β≤1 конечного предела не существует. Таким образом, интеграл (1.3) сходится при β>1 и

+∞∫	dx	=	1	.
	β		β−1
1	x
Пример 1.2. Вычислить интеграл
	1	dx		(1.4)
	∫0	xβ

для тех значений параметра β, при которых он сходится.
Подынтегральная функция	x−β		на отрезке [0;1] имеет единст-

венную особенность в точке x = 0 . По определению несобственного интеграла

lim ln

β=1;

a→0+

∫0

= alim→0+ ∫0

= lim

xβ

(1 − a1−β ),

β ≠1.

1−β

a→0+

Нетрудно убедиться, что при β≥1 интеграл (1.4) расходится, а

при β<1 имеет место равенство ∫1	x−β dx =	1	.
		1 −β
0

Пример 1.3. Определить те значения параметра, при которых сходится интеграл

+∞∫	dx			,	α .	(1.5)
	(2x −	3)	α
3/ 2

Представим интеграл (1.5) в виде суммы двух несобственных интегралов

+∞∫

= ∫2

+ +∞∫

(2x −

3/ 2

3/2 (2x −

Выполнив замену переменной t = 2x −3 , получим

∫

(1.6)

(2x −

3/2

+∞∫

(1.7)

2 (2x −3)

2 1

Как мы убедились выше, интеграл (1.6) сходится при α <1 , а интеграл (1.7) – при α >1 . Таким образом, интеграл (1.5) не схо-

дится ни при каких значениях параметра α. Пример 1.4. Вычислить интеграл

∫1	(6 x +1)2	dx .
0	x

Используя свойство линейности интеграла и формулу Ньютона– Лейбница, получаем

∫ (	6	x +		1)		2	= ∫ 6dx +2∫3dx + ∫ dx =
						dx
1							1					1		1
0			x				0			x	0		x	0		x
=	6	6	x5		1 + 2			3	3	x2		1 + 2 x			1 =	31	.


	5				0+		2					0+			0+	5

Пример 1.5. Вычислить интеграл

1 dx

∫0 (2 − x) 1− x .

Воспользуемся

формулой

замены

переменной.

Положим

t2 =1− x , t > 0 . Тогда

t dt

∫

= −2∫

= 2∫

= 2arctg t

(2 − x) 1

− x

t(t

Здесь несобственный интеграл с помощью замены переменной преобразован в собственный.

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАСХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ КОШИ

Теорема 2.1 (критерий Коши). Для сходимости интеграла

∫b f (x) dx необходимо и достаточно выполнения условия (Коши):

для всякого ε > 0 существует такое число b0 (ε) (a; b) , что для всех чисел b′ и b′′, если b0 ≤b′<b′′<b , выполняется неравенство

b′′

∫f (x) dx < ε .

b′

Этот критерий применяется, в основном, для доказательства расходимости интегралов, поэтому сформулируем признак расходимости, основываясь на этом критерии.

Утверждение 2.1. Интеграл ∫b f (x) dx расходится, если сущест-

вует такое число ε > 0 , что для любого b0 (a; b) найдутся числа b′ (b0 ; b) и b′′ (b0 ; b) , для которых

b′′

∫ f (x) dx ≥ ε .

b′

Пример 2.1. Доказать расходимость интеграла
+∞∫sin x dx .	(2.1)
0

Заметим сначала, что для любого натурального числа n справедливо равенство

(n+1)π

∫ sin x dx = cos x ππn(n+1) = 2 .

nπ

На этом замечании и основывается доказательство. Пусть ε = 2 и b0 – произвольное положительное число. Возьмем такое натураль-

ное число N, что πN > b0 ; положим b′ = πN и b′′ = π(N +1) . Теперь из соотношения

b′′

∫sin x dx = 2 ≥ ε

b′

вытекает расходимость интеграла (2.1). Пример 2.2. Доказать расходимость интеграла

		+∞∫	sin x	dx .	(2.2)



	0		x		x →∞ .
Интеграл	(2.2) имеет единственную особенность при				x →∞ .
(При x → 0 подынтегральная функция имеет конечный предел.)
	1					′
Пусть ε =	π и b – произвольное положительное число. Числа b					′
Пусть ε =	π и b – произвольное положительное число. Числа b

иb′′ выбираем из следующих соображений:

1)b′ = πN , b′′ = π(2N + 2) ;

2)πN > b0 .

Здесь N – некоторое натуральное число. Из оценки

b′′

sin x

∫

b′

2 N +1

π(n+1)

sin x

= ∑

∫

dx ≥

n=N

πn

2 N +1	π( n+1)	sin x
∑	∫			dx	=

		x
n=N	π
	n
2 N +1	1		π(n+1)
∑			∫		sin x	dx =

	π(n +1)
n=N			πn

2 N +1	1		π(n+1)				1	2 N +1
= ∑			∫ sin x dx		≥			∑	2 =
	π(n +1)					π(2N + 2)
n=N			πn					n=N
	=	1		(N + 2)2 >			1
		2(N +1)π					π

следует расходимость интеграла (2.2).

Пример 2.3. Доказать расходимость интеграла

∫ sin

(2.3)

1 − x 1 − x

и такой номер n, чтобы

Возьмем произвольное число η (0;1)

выполнялось неравенство

n >1/ π(1 −η) .

(2.4)

Оценим

снизу

абсолютную

величину

интеграла

от функции

sin

по отрезку

1−

;1−

, применив замену пе-

πn

− x 1 − x

2πn

ременной t

− x

1−

2πn

sin2 t

πn

∫

sin

∫

dt >

1− x

− x

1−

πn

2∫πn

sin2 t dt =

πn =

2πn πn

2πn

Из

неравенства

(2.4)

следует,

что

η =1

−

> η и

πn

η2

=1−

>η. Таким образом, неравенство

2πn

η2

∫sin

≥ ε

− x 1

− x

выполняется для ε =1 / 4 . Расходимость интеграла (2.3) доказана.

3.ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ

Вэтом разделе исследуются на сходимость интегралы от знакоположительных функций.

Теорема 3.1. Пусть интегралы

∫b	f (x) dx	(3.1)
a

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.201965 Кб4asd.doc
#
05.06.20152 Мб106b0003.pdf
#
27.03.20161 Мб122Babalova_Algoritmizaciya_zadach_i_strukturirovanie_programm_2013.pdf
#
01.04.2025228 Кб3Bankova_Mikhaylova.doc
#
05.06.20154 Мб25Basharov_mephi86.pdf
#
05.06.20151 Мб16Baskakov_Nesobstvennye_integraly_2014.pdf
#
23.09.2019305 Кб9Bazy_dannykh_i_znany.doc
#
02.08.2019342 Кб8bcnjhbz.docx
#
09.09.20194 Мб20BD_LabPraktikum.docx
#
27.03.20165 Мб144Belyaev_Nuclea Physics of Medecine_Study Manual.pdf
#
01.07.2025359 Кб2bestreferat-168579.docx