Рекуррентные соотношения

будет к концу года?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

Рекуррентным

соотношением k-того

порядка будем

называть соотношение

f (n k),

позволяющее

вычислять

члены

последовательности

f (n k 1),

f (n k 2),...,

f (n) с номером n k через k предыдущих.

Последовательность

{ f (n)}

называется

частным

решением

рекуррентного

xn 2 xn 1 xn

| : xn

x2

x 1

x2

x

1 0 - характеристическое уравнение.

x

1

, x

1

5

5

2

1

2

2

1

n

1

n

5

5

2

,

2

- частные решения.

1

n

1

n

C

5

C

5

- общее решение.

2

2

2

1

f (0) 0 C1 C2

0 C2

C1

1

C

1

C (

1

1

f (1) 1 C

5

5

,C

5) 1 C

1

2

1

2

1

2

1

5

5

1

1

n

1

1

n

5

5

f (n)

- формула общего члена последовательности

5

2

5

2

постоянными коэффициентами

называется соотношение

f (n 2) pf (n 1) qf (n)

(38)

xn 2 pxn 1 qxn

| : xn

x2 px q 0

1

1

x2 x1 0 для любых A, B система имеет единственное решение

x1

x2

2) x1

x2 R

x2 px q 0

по теореме Виета p 2x ,

q x2

1

1

f (n 2) 2x f (n 1) x2

f (n)

1

1

Покажем, что f (n) xn

(C nC

)

даёт решение.

1

1

2

xn 2 (C (n 2)C

2

) 2x xn 1

(C (n 1)C

2

) x2 xn (C nC

)

1

1

1

1

1

1

1

1

2

xn 2

(2C 2nC

2

2C

2

C

nC

) xn 2

(C

C

(n 2))

1

1

1

2

1

1

2

f (0) A

f (1) B

C1 A

x C

x C

2

B

1

1

1

1

0

x1 0 f (n) - общее решение.

x1

x1

3) x1,2 C

x1

r(cos i sin )

x2

r(cos i sin )

xn

r n (cos n i sin n )

1

x2n

r n (cos n i sin n )

xn

xn

r n cos n - является решением по лемме о линейной комбинации.

1

2

2

xn

xn

r n sin n - является решением по лемме о линейной комбинации.

1

2

2i

f (n) C r n cos n C

2

r n sin n - покажем, что это и есть общее решение.

1

C1 A

C r cos C

2

r sin B

1

r cos

r sin

r sin 0

(если бы

sin 0, то

мнимая часть

была

бы

нулевая) f (n)

- общее решение

Линейным однородным рекуррентным соотношением k-того порядка с

постоянными коэффициентами – это соотношение вида:

f (n k) a1

f (n k 1) a2

f (n k

2) ... ak f (n)

(40)

xk

a1 xk 1

a2 xk 2

... ak

(41)

-

характеристическое

уравнение

соотношения (40).

Теорема о виде общего решения соотношения (40)

Пусть

дано

f (n k) a1

f (n k 1) a2 f (n k

2) ... ak f (n)

и

его

характеристическое уравнение

xk

a1 xk 1

a2 xk 2

... ak . Тогда общее решение будет

представлять собой группу слагаемых, таких что:

1)

если

корень

xi R

кратности

m,

то

ему соответствует

группа

слагаемых

xn (C nC

2

n2C

3

... nm 1C

m

)

i

1

2) если имеется пара комплексно сопряжённых корней

r(cos i sin )

кратности

m,

то

этой

паре

корней

будет

соответствовать

группа

слагаемых

r n ((C nC

2

n2C

3

... nm 1C

m

)cos n (D nD

2

n2 D

... nm 1D

m

)sin n )

1

1

3

Пример. Рассмотрим соотношение

f (n 6) 5 f (n 5) 7 f (n 4) f (n 3) 2 f (n 2) 4 f (n 1) 8 f (n).

x6 5x5 7x4 x3 2x2 4x 8 0.

x

1, x

2

2, x

3

2, x

4

2, x

5

i cos

i sin , x

6

i cos

i sin .

1

2

2

2

2

f (n) ( 1)n C 2n (C

nC

n2C

) C

cos

n

C

sin

n

2

3

4

5

6

1

2

2