Запишем арифметический треугольник 6-ого порядка.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
25 |
27 |
27 |
25 |
Ответ. 11 очков можно набрать 27 способами, 12 очков – 25 способами.
Свойства обобщённых арифметических коэффициентов
1)C2 (n, k) Cnk
2)Cm (n, k) Cm (n, n(m 1) k) Доказательство.
a1 a2 ... an k |
|
|
|
|
(m 1 a1 ) (m 1 a2 ) ... (m 1 an ) n(m 1) (a1 a2 |
... an ) n(m |
1) k |
||
3) Cm (n,0) Cm (n,1) ... Cm (n, n(m 1)) mn - обобщение |
одного |
из свойств для |
||
биномиальных коэффициентов. |
|
|
|
|
4) Формула разложения по первым разрядам. |
|
|
|
|
s – сумма, которая может быть достигнута в первых i разрядах. |
|
|
||
k |
|
|
|
|
Cm (n, k) Cm (i, s) Cm (n i, k s) |
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
k s - сумма, которую могут набрать n i разрядов. |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
5) Cm (n, k) Cns Cm 1 (n s, k n s) |
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
CnsCm 1 (n s, k n s) - |
для любого s можно составить |
всего |
разрядов |
n s. |
Каждую цифру в n s разрядах уменьшаем на 1. |
|
|
|
|
k n s |
|
|
|
|
s – количество нулевых разрядов. |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
C3 (n, k) Cns C2 (n s, k n s) Cns Cnk sn s |
|
|
|
|
s 0 |
s 0 |
|
|
|
17