Арифметический треугольник
Пусть у нас имеется неограниченная слева, справа и сверху шахматная доска. В одну из самых нижних клеток мы ставим короля. На каждой следующей горизонтальной линии будем помечать, сколькими способами король может добраться до всех клеток на линии.
1 
3 
6 
7 
6 
3 
1 
1 
2 
3 
2 
1 
1 
1 
1 
к 
Запишем арифметический треугольник третьего порядка:
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
1 1 1 1 0 0 0 0 0
2 
1 
2 
3 
2 
1 
3 
1 
3 
6 
7 
6 
3 
1 
Запишем арифметический треугольник порядка m:
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
……. |
m-2 |
m-1 |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
……. |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
……. |
m-1 |
m |
m-1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа в ячейках таблицы обозначаются Cm (n, k).
1, k m 1
Cm (1, k) 0, k m 1
C (n, k) Cm (n 1, k) Cm (n m Cm (n 1, k) Cm (n
1, k 1) ... |
C |
1, k 1) ... |
C |
m
m
(n 1,0), k m 1
(n 1, k m 1), k m 1
Теорема о связи арифметического треугольника и m-ичной системы счисления
Арифметический коэффициент Cm (n, k) равен количеству n-разрядных чисел в m- ичной системе счисления, сумма цифр которых равна k, причём допускаются числа,
начинающиеся с нулей. |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
Обозначим через Bm (n, k) количество этих чисел. |
|
|
|
|
1, |
k m 1 |
|
|
|
Bm (1, k) |
k m 1 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
Bm (n 1, k) Bm (n 1, k 1) ... Bm (n 1,0), |
k m 1 |
|
|
|
Bm (n, k) |
|
|
m 1 |
|
Bm (n 1, k) Bm (n 1, k 1) ... Bm (n 1, k m 1), k |
|
|||
Bm (n, k) Cm (n, k). Пример.
Два игрока играют в кости. Если за 3 хода сумма очков на игральных костях составляет 11 очков, то выигрывает первый игрок, если 12 очков, то выигрывает второй. Сколькими способами можно набрать эти очки?
Для начала сделаем замену очков на гранях кости: 1 на 0; 2 на 1; …; 6 на 5. Тогда вместо 11 очков нужно набрать 8, вместо 12 – нужно 9.
Остаётся найти C6 (3,8), C6 (3,9).
16