Задачи о смещениях
Дано n предметов, за которыми зафиксированы их начальные позиции.
Dn количество перестановок, при которых ни один из предметов не стоит не своих первоначальных позициях – субфакториалы.
Dn n! Cn1 (n 1)! Cn2 (n 2)! ... ( 1)n Cnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n! |
n! |
|
(n |
1)! |
n! |
|
(n 2)! ... ( 1) |
n |
n! |
|
0! n!(1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
... |
( 1)n |
) |
(n 1)!1! |
(n 2)!2! |
|
n! 0! |
1! |
2! |
3! |
n! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Dn ne! (36)
Dn,k - количество перестановок n предметов, при которых ровно k предметов стоят на своих первоначальных позициях.
Dn,k Cnk Dn k |
(37) |
|
|
|||
Dn,k |
n! |
|
(n k)! |
|
n! |
|
(n k)!k! |
k!e |
|||||
|
e |
|
||||
Задачи о распределениях
Пусть n – количество шаров и k – количество ящиков, в которые нужно распределить эти шары. Найти количество возможных вариантов распределения при условии, что шары различимы/неразличимы, ящики различимы/неразличимы.
* - ни один ящик не пуст.
k
n
НЕРАЗЛИЧИМЫ РАЗЛИЧИМЫ
РАЗЛИЧИМЫ
U (n, k) k n
k 1
U (n, k) ( 1)i Cki (k i)n
i o
T(n, k) Cnk k1 1
T(n, k) Cnk 11
НЕРАЗЛИЧИМЫ
V (n, k) k V (n,i)
i 1
V (n, k) U (n, k) k!
W (n, k) k W (n,i)
i 1
W (n, k) W (n k, k)
1. Введём систему точек и перегородок (см. сочетания с повторениями).
1) Каждому распределению n неразличимых шаров по k различимых ящиков, где допускаются пустые ящики, соответствует перестановка n точек и k-1 перегородок (количество точек левее первой перегородки показывает количество шаров в первом ящике, между первой и второй – во втором и т.д.) (Две рядом стоящие перегородки соответствуют пустому ящику).
13
T (n, k) P(n, k 1) |
(n k 1)! |
Cnk k1 1 |
||
n!(k 1)! |
|
|||
|
|
|||
2) Ящики не пустые. В этом случае стоит задача: из n-1 промежутка между точками нежно выбрать k-1 позицию, чтобы расставить на этих позициях перегородки, а это можно
сделать Cnk 11 числом способов.
T (n, k) Cnk 11
2. 1) Число способов распределения первого шара – k Число способов распределения второго шара – k
И т.д.
U (n, k) k k ... k k n
2) U (n, k) k n Cn1 (k 1)n Cn2 (k 2)n ... ( 1)k 1 Cnk 1 - числа Стирлинга второго
рода.
3. 1) V (n, k) U (n, k) k!
В отличие от U , ящики не различимы. Так как ящики неразличимы, перестановка
ящиков местами не даёт нового распределения. Переставить k ящиков можем k! раз, значит, V (n, k) в k! раз меньше, чем U (n, k).
2) V (n, k) V (n, k) V (n, k 1) ... V (n,1) V (n, k) - ни один ящик не пуст
V (n, k 1) - один ящик пуст и т.д.
4. W (n, k)
x1 x2 ... xk n
xi N |
|
|
~ |
|
1 - задаёт биекцию |
xi xi |
||
~ |
~ |
~ |
x1 |
x2 |
... xk n k |
~ |
N0 |
|
xi |
|
|
W (n, k) W (n k, k)
W (n, k) W (n, k) W (n, k 1) ... W (n,1)
14
Пример.
Сколькими способами можно представить число 7 как сумму 4 положительных/неотрицательных слагаемых?
Нужно найти W (7,4) и W (7,4).
Очевидно, что W (n,1) W (n,1) W (1, k) W (a, a) 1, W (i, j) 0, где i<j.
|
|
|
|
|
|
k |
|
Далее, |
пользуясь |
|
рекуррентными формулами |
W (n, k) W (n,i) |
и |
||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
W (n, k) W (n k, k), заполняем следующую таблицу. |
|
|
|||||
k |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
4 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
3 |
|
5 |
6 |
|
|
5 |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
4 |
|
7 |
9 |
|
|
6 |
|
1 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
4 |
|
8 |
11 |
|
|
7 |
|
1 |
3 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
W (7,4) 3, W (7,4) |
11. Проверим: |
|
|
||||
71 1 1 4
71 1 2 3
71 2 2 2
70 0 0 7
7 0 0 1 6 |
|
7 1 1 1 4 |
|
||||||
7 |
|
|
|
|
7 |
1 |
1 2 |
|
3 |
0 0 2 5 11 |
3 |
||||||||
7 |
0 0 3 4 |
|
7 |
1 |
2 2 |
|
|
||
|
2 |
|
|||||||
7 |
0 |
1 |
1 5 |
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
1 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
1 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 3 |
|
|
|
|
|
||||
15