Размещения с повторениями
Ank - количество размещений с повторениями
|
|
|
Ak nk |
(26) |
|
n |
|
|
Размещения без повторений
Ank |
- количество размещений без повторений |
|||||
Ak |
n(n 1)(n |
2)...(n k 1) |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
Введём такое понятие: |
|
|||||
0! 1 |
|
|
|
|
||
n! (n 1)!n |
|
|
|
|
||
( n! - «эн факториал») |
|
|||||
Тогда Ank |
n! |
|
|
(27) |
||
(n k)! |
||||||
|
|
|
||||
Пример.
Сколькими способами в группе из 24 студентов можно выбрать 1 старосту, 1 финорга и 1 профорга? (3 человека)
A243 2421!! 24 23 22 12144
Перестановки без повторений
Рассмотрим частный случай. Если речь идёт о размещении без повторений и k n, то говорят о перестановках n элементов и обозначают через Pn P(n)
P(n) |
n! |
|
n! |
n! |
(28) |
|
(n n)! |
||||||
|
0! |
|
|
|||
Пример.
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «граф»?
P(4) 4! 24
Перестановки с повторениями
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «математика»?
10! 10! 151200 2!3!2! 24
Пусть у нас имеется:
n1 - количество предметов первого типа, n2 - количество предметов второго типа,
…
nk - количество предметов типа k.
P(n1 , n2 ,..., nk ) - количество перестановок с повторениями.
P(n1 , n2 |
,..., nk ) |
(n1 n2 ... nk )! |
|
(29) |
|
n1!n2 !... nk ! |
|||||
|
|
|
|||
Числа P(n1 , n2 ,..., nk ) называются полиномиальными коэффициентами. nk ! - число способов перестановок предметов k-того типа.
9
Пример.
Сколькими способами можно расставить шахматные фигуры (все одного цвета, кроме пешек) на первой горизонтальной линии шахматной доски?
P(2,2,2,1,1) |
8! |
|
8! |
7! 5040 |
|
2! 2! 2! 1!1! |
|||||
|
8 |
|
|||
|
|
|
Сочетания с повторениями |
C k |
n |
|
|
|
|
- число сочетаний с повторениями. |
|
n |
или |
|
|
|
k |
|
|
Количество сочетаний без повторений из n элементов по k меньше количества размещений из n элементов по k в k! раз, так как перестановки выбранных k предметов не дают нового сочетания, а переставить k элементов можно k! способами.
Cnk |
n! |
|
|
(30) |
|
k!(n |
k)! |
||||
|
|
||||
Числа Cnk называются биномиальными коэффициентами.
Пример.
Подсчитать вероятность угадывания ровно 4 номеров в спортлото «5 из 36».
|
C 4 |
C1 |
9,55 10 5 |
|
P |
5 |
31 |
||
C365 |
||||
|
|
|||
Сочетания с повторениями
Cnk - число сочетаний с повторениями
Введём такую систему: k элементов обозначим точками, нарисуем их в одну линию и разделим их n-1 неразличимыми перегородками, причём количество неразделённых элементов будет означать, сколько раз элемент повторяется (если две перегородки стоят подряд, то это означает, что какой-то элемент ни разу не используется в данном сочетании).
Тогда каждому сочетанию с повторениями из n по k можно однозначно поставить в соответствие перестановку с повторениями:
P(k, n 1) |
(k n 1)! |
Cnk k 1 |
|
|
|
k!(n 1)! |
|
Cnk Cnk k 1 |
(31) |
|
|
Пример.
Сколькими способами может быть осуществлена покупка 15 открыток, если есть только 3 типа открыток?
C15 C15 17! 136
3 17 15! 2!
Формула бинома Ньютона
(a x)2 |
(a x)(a x) aa ax xa xx a2 2ax x2 |
|
(a x)3 |
aaa aax axa xaa xxa xax axx xxx a3 3a2 x 3ax2 x3 |
|
(a x)n |
an Cn1an 1 x ... Cnk an k xk ... xn (32) |
|
|
n |
|
(a x)n |
Cnk xk an k |
(33) |
|
k 0 |
|
(x y)6 x6 6x5 y 15x4 y 2 20x3 y3 15x2 y 4 6xy5 y6
10
Свойства
1)Cn0 Cnn 1, Cn1 Cnn 1 n
2)Cnk Cnn k
Cnn k |
n! |
|
|
n! |
|
Cnk |
|
(n k)!(n n k)! |
(n k)!k! |
||||||
|
|
|
|||||
3)следствие из бинома Ньютона Cn0 Cn1 Cn2 ... ( 1)n Cnn 0
4)Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
5)свойство арифметического треугольника
Cnk 1 Cnk Cnk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Cnk Cnk 1 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
n!(n k 1) |
|
|
|
n!k |
|
|
||||||
k!(n |
k)! |
(k 1)!(n k 1)! |
k!(n k)!(n k |
1) |
(k 1)!(n k 1)!k |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n!(n k 1) |
|
|
|
n!k |
|
n!n n!k n! n!k |
n!(n 1) |
|
|
|
(n 1)! |
|
Cnk 1 |
|||||||||||
k!(n k 1)! |
k!(n k 1)! |
k!(n k 1)! |
k!(n 1 k)! |
||||||||||||||||||||||
|
|
k!(n k 1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Полиномиальная формула
(x1 x2 ... xm )n (x1 x2 ... xm )(x1 x2 ... xm )...(x1 x2 ... xm )
x1n ... x1k1 x2k 2 ...xmkm ...
После приведения подобных слагаемых коэффициенты при x1k1 x2k 2 ...xmkm получатся равными P(k1, k2 ,..., km ).Тогда справедлива полиномиальная формула:
(x1 x2 ... xm )n |
P(k1 , k2 ,..., km )x1k1 x2k2 ...xmkm |
|
ki N0 |
(34) |
|
k1 k2 |
... kn |
n |
Пример.
(x y z)4
P(0,0,4) 1
P(0,1,3) 4
P(0,2,2) 6
P(1,1,2) 12
(x y z)4 (x4 y 4 z 4 ) 4(xy3 x3 y xz3 x3 z yz3 y3 z)6(x2 y 2 x2 z 2 y 2 z 2 ) 12(x2 yz xy2 z xyz2 )
11
Формула включений и исключений
На предприятии работают 35 человек. 11 человек владеют французским языком, 21 человек владеют английским языком, 13 человек владеют немецким языком. И английским, и немецким языками владеют 6 человек. Английским и французским языками владеют 7 человек. Немецким и французским языками владеют 3 человека. Всеми тремя языками владеют 2 человека. Сколько людей не владеют ни одним из этих языков?
Итого 31 человек владеют иностранными языками.
35 31 4
или
35 11 21 13 6 7 3 2 4
Ответ: 4 человека не владеют ни одним из языков.
Пусть дано N - количество предметов и n свойств, которыми эти предметы могут обладать, а могут и не обладать. Обозначим их через 1 , 2 ,..., n . Если предмет не
обладает свойством i , то будем обозначать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
i . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
N( |
|
, |
|
,..., |
|
|
) N N ( 1 ) N ( 2 ) ... N ( n ) N( 1 , 2 ) ... N( n 1 |
, n ) |
|
||||||||||||||||
1 |
2 |
n |
(35) |
||||||||||||||||||||||
N( 1 , 2 , 3 ) ... ( 1)n N ( 1 , 2 ,..., n ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
Формула (35) называется формулой включений и исключений. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Метод математической индукции. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) Проверка при n 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
N( |
1 |
) N N( 1 ) - верно. |
|
|
|||||||||||||||||||||
2) Допустим, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||
N( |
|
, |
|
,..., |
|
) N N ( 1 ) N ( 2 ) ... ( 1)k N( 1 , 2 ,..., k ) |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
k |
|
|
|||||||||||||||||||||
3) Докажем это и при n k 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
N( |
|
, |
|
,..., |
|
, k 1 ) N ( k 1 ) N ( 1 , k 1 ) N ( 2 , k 1 ) ... ( 1)k N( 1 , 2 ,..., k 1 ) |
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
k |
|||||||||||||||||||||||
N( |
|
, |
|
,..., |
|
, |
|
) N ( |
|
, |
|
,..., |
|
) N ( |
|
, |
|
,..., |
|
, k 1 ) N N ( 1 ) N ( 2 ) |
|||||
1 |
2 |
k |
k 1 |
1 |
2 |
k |
1 |
2 |
k |
||||||||||||||||
... N ( k ) N ( k 1 ) N ( 1 , 2 ) ... N ( 1 , k 1 ) ... ( 1)k 1 N( 1 , 2 ,..., k 1 ) Вывод: на основании метода математической индукции утверждаем, что формула
(35) справедлива для любых натуральных чисел n.
12