Теорема об отрицании квантора существования

P(x, y1 ,..., yn )

x P(x, y1 ,..., yn ) x P(x, y1 ,..., yn ) (9) Доказательство.

Зафиксируем набор a1 ,..., an .

x P(x, a1 ,..., an ) 1 x P(x, a1 ,.., an ) 0 P(x, a1 ,.., an ) 0P(x, a1 ,.., an ) 1 x P(x, a1 ,.., an ) 1

Дистрибутивные свойства кванторов

Теорема о дистрибутивности квантора общности относительно конъюнкции

P(x, y1 ,..., yn ), Q(x, y1 ,..., yn )

x (P(x, y1 ,..., yn ) Q(x, y1 ,..., yn )) x P(x, y1 ,..., yn ) x Q(x, y1 ,..., yn ) (10) Доказательство.

Зафиксируем a1 ,..., an .

x (P(x, a1 ,..., an ) Q(x, a1 ,..., an )) 1 P(x, a1 ,..., an ) Q(x, a1 ,..., an ) 1

P(x, a1 ,..., an ) 1, Q(x, a1 ,..., an ) 1 x P(x, a1 ,..., an ) 1, x Q(x, a1 ,..., an ) 1

x P(x, a1 ,..., an ) xQ(x, a1 ,..., an ) 1

Теорема о дистрибутивности квантора существования относительно дизъюнкции

P(x, y1 ,..., yn ), Q(x, y1 ,..., yn )

x (P(x, y1 ,..., yn ) Q(x, y1 ,..., yn )) x P(x, y1 ,..., yn ) x Q(x, y1 ,..., yn ) (11) Доказательство.

Зафиксируем a1 ,..., an .

x (P(x, a1 ,..., an ) Q(x, a1 ,..., an )) 0 P(x, a1 ,..., an ) Q(x, a1 ,..., an ) 0

P(x, a1 ,..., an ) 0, Q(x, a1 ,..., an ) 0 x P(x, a1 ,..., an ) 0, x Q(x, a1 ,..., an ) 0

x P(x, a1 ,..., an ) xQ(x, a1 ,..., an ) 0

Теорема о полудистрибутивности квантора общности относительно дизъюнкции

Следовательно, если в левой части импликации получается 1, то и в правой 1.

4

Теорема о полудистрибутивности квантора существования относительно конъюнкции

Следовательно, если в правой части импликации получается 0, то и в левой 0.

Говорят, что предикатная формула находится в приведённой форме, если в качестве операций могут быть использованы лишь операции квантификации, дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, причём отрицание относится только к предикатным буквам.

x y x y x y (18)

Теорема о представлении предикатной формулы в приведённой форме

Каждую предикатную формулу можно представить в приведённой форме.

Сначала с помощью формул (14) – (19) выражаем все операции через конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, затем, если необходимо, используем законы Моргана и теоремы об отрицании кванторов.

Пример: представить данную формулу в предикатной форме.

x P(x, y) x y Q(x, y, z) T (x) x P(x, y) x y Q(x, y, z) T (x)

x P(x, y) x y Q(x, y, z) x P(x, y) x y Q(x, y, z) T (x)

x P(x, y) x y Q(x, y, z) x P(x, y) x y Q(x, y, z) T (x)

( x P(x, y) x y Q(x, y, z)) ( x P(x, y) x y Q(x, y, z)) T (x)( x P(x, y) x y Q(x, y, z)) ( x P(x, y) x y Q(x, y, z)) T (x)

x (A), где A - предикатная формула, x - переменная.

A называется областью действия квантора.

5

Вхождение переменной в формулу называется связанным (свободным), если она стоит (не стоит) рядом с квантором или находится (не находится) в области действия квантора по данной переменной.

Переменная называется свободной от данной формулы, если хотя бы одно её значение свободно.

Переменная называется связанной в данной формуле, если хотя бы одно её вхождение связно.

Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных значений переменных.

Пример: x P(x, y) x y Q(x, y, z). Все 4 вхождения связанные.

x связанная переменная;

y и связанная, и свободная; z свободная.

Формула не является замкнутой.

Теорема о переименовании связанных переменных

Связанные переменные можно переименовывать.

x P(x, a1 ,..., an ) 1 P(x, a1 ,..., an ) 1 P(z, a1 ,..., an ) 1 z P(z, a1 ,..., an ) 1x P(x, a1 ,..., an ) 0 P(x, a1 ,..., an ) 0 P(z, a1 ,..., an ) 0 z P(z, a1 ,..., an ) 0

Теорема о распространении области действия квантора

Доказательство.

x P(x, a1 ,..., an ) Q(a1 ,..., an ) 1 x P(x, a1 ,..., an ) 1,Q(a1 ,..., an ) 1

P(x, a1 ,..., an ) 1,Q(a1 ,..., an ) 1 P(x, a1 ,..., an ) Q(a1 ,..., an ) 1

x (P(x, a1 ,..., an ) Q(a1 ,..., an )) 1

P(x, a1 ,..., an ) 0,Q(a1 ,..., an ) 0 P(x, a1 ,..., an ) Q(a1 ,..., an ) 0

x (P(x, a1 ,..., an ) Q(a1 ,..., an )) 0

6

Говорят, что предикатная формула находится в предваренной нормальной форме, если она имеет вид: Du1 Du 2 ...Dun (A), где D – квантор общности или квантор

существования, ui – переменные, A не содержит кванторов и находится в приведённой форме.

Теорема о представлении предикатной формулы в предваренной нормальной форме

Любая предикатная формула может быть представлена в предваренной нормальной форме.

Любую предикатную формулу приводим сначала к приведённой, а затем с помощью формул (20) – (25) – в предваренную, следя за тем, чтобы никакие свободные значения переменных не попадали в область действия кванторов по данной переменной.

Пример:

x P(x, y) x y Q(x, y, z) T (x, y) x1 P(x1 , y) x1 y1Q(x1 , y1 , z) T (x, y)

x1 y1 (P(x1 , y) Q(x1 , y1 , z) T (x, y))

7