Теорема о перестановке одноимённых кванторов
Теорема о перестановке кванторов общности
x y P(x, y, z1 ,..., zn ) y x P(x, y, z1 ,..., zn ) (5) Доказательство.
Зафиксируем b1 ,...,bn .
x y P(x, y,b1 ,...,bn ) 1 y P(x, y,b1 ,...,bn ) 1 P(x, y,b1 ,...,bn ) 1x P(x, y,b1 ,...,bn ) 1 y x P(x, y,b1 ,...,bn ) 1
Теорема о перестановке кванторов существования
x y P(x, y, z1 ,..., zn ) y x P(x, y, z1 ,..., zn ) (6) Доказательство.
Зафиксируем b1 ,...,bn .
x y P(x, y,b1 ,...,bn ) 0 y P(x, y,b1 ,...,bn ) 0 P(x, y,b1 ,...,bn ) 0x P(x, y,b1 ,...,bn ) 0 y x P(x, y,b1 ,...,bn ) 0
Теорема о перестановке разноимённых кванторов
x y P(x, y, z1 ,..., zn ) y x P(x, y, z1 ,..., zn ) 1 (7) |
|
|
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, что на наборе (b1 ,...,bn ) (7) – ложно. |
|
|
||||||
x y P(x, y,b1 ,...,bn ) 1 |
|
y P(x, y,b1 ,...,bn ) |
выполним |
|
||||
y x P(x, y,b1 ,...,bn ) 0 |
x P(x, y,b1 ,...,bn ) не всегда равен 1 |
|||||||
|
найдётся |
x0 |
y P(x0 , y,b1 ,...,bn ) 1 |
|
P(x0 , y,b1 ,...,bn ) 1 |
|
||
найдётся |
y0 |
x P(x, y0 ,b1 ,...,bn ) 0 |
P(x, y0 ,b1 ,...,bn ) 0 |
|||||
|
P(x0 , y0 ,b1 ,...,bn ) 1 |
|
противоречие |
теорема доказана |
||||
P(x0 , y0 ,b1 ,...,bn ) 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Теорема об отрицании кванторов
Теорема об отрицании квантора общности
P(x, y1 ,..., yn )
x P(x, y1 ,..., yn ) x P(x, y1 ,..., yn ) (8) Доказательство.
Зафиксируем набор a1 ,..., an .
x P(x, a1 ,..., an ) 0 x P(x, a1 ,.., an ) 1 P(x, a1 ,.., an ) 1
P(x, a1 ,.., an ) 0 x P(x, a1 ,.., an ) 0
3