Е.А. Елтаренко. Теория игр. Конспект лекций

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

приемлема при

приемлема при

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

928.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

	а22	γ
	а22		γ1
			γ1	а11
				а11
из			γ2
	a32			а21
	а12			а21
	а12	γ3		а31
		γ3		а31
игре	0	Р*1b		1 Р1b
игре

Рис. 2.4. Графическая интерпретация решения игры nx2

	*
Оптимальное	P1b	находим

					2
условия	min			max aij		Pjb	,
условия	min			max aij		Pjb	,
				i	j 1
					j 1

после чего			выделяем			две
активные		стратегии				для
участника	A		и переходим к
2 2 .

2.3.4. Решение

матричных игр n m

Задана	aij	– матрица выигрышей для игрока
оптимальные смешанные стратегии:
		S* P*		, , P*	, , P*
		a	1a	ia		na	.
		S* P*		, , P*		, , P*	.
		b	1b	jb		mb

. Необходимо найти

Рассмотрим решение игры для игрока A.

Выигрыш игрока	A , если
стратегию S jb , будет	равен:

принимает фиксированную чистую

aij Pia i 1

2, ,

(2.6)

Найдем минимум из	j , обозначим его через min j
		j
*
Pia из условия max .
Все j j 1, 2, , m , так как		– минимальное.

перепишем в виде неравенств:

. Будем искать

Поэтому (2.6)

n
aij Pia ( j 1, 2, , m) .	(2.7)

i 1

Для вероятностей Pia выполняется условие:

n Pia i 1

(2.8)

Нахождение	max	равносильно
нахождения Pia	введем переменную xi
n
виде: aij xi 1 ( j 1, 2, , m) , а (2.8)
i 1
	*
Определяем	xi из условия, что min

поиску	min	1	. Для удобства

	P
	ia	, тогда (2.7) перепишется в
		, тогда (2.7) перепишется в

		n	1
– в виде xi			1	.
– в виде xi				.
		i 1
n
xi		при ограничениях:
i 1

n		1 ( j 1, 2, , m);
a	x	1 ( j 1, 2, , m);
ij i
i 1

		x
		i
Для	0 необходимо,
обеспечивается,		если все
отрицательные		элементы,
C abs(min(aij )) . При этом
	i, j

0, 0.
чтобы	все j	были положительные.			Это
aij 0	. Поэтому,		если в матрице		есть
увеличим		все	элементы	aij	на
также увеличивается на C .

Врезультате решения поставленной задачи линейного

		*	и значение целевой функции
программирования найдем xi			и значение целевой функции
			*
чего можем определить искомые Pia						по формуле:
								x*
				Pia					a	.
				Pia				n		.
								xk*
								k 1
Выигрыш игрока	A	(цена игры) будет равен:
							1
							1		C .

						n
					xi*

i 1

n x* i

i 1

. После

Алгоритм решения игры n x m для участника А

1.Переходим к положительным элементам матрицы:

2.Решаем задачу линейного программирования:

при ограничениях

		n
		min xi ;
		i 1
n
a	x	1 ( j 1,2,..., m), x	0.
ij	i	i
i 1

a	ij

3. Находим вероятности: P*	x*
	i	( ЦФ – значение целевой
		( ЦФ – значение целевой
ia	ЦФ
	ЦФ

функции).

Выигрыш участника

		1	C .
		ЦФ

определяется в соответствии с выражением:


Решение игры для игрока B
Перейдем к матрице aij		с неотрицательными элементами так же как и
при решении для	участника А. Через		i (i 1, 2, , n) обозначим
проигрыш игрока B	при фиксированной стратегии игрока A :

					m
				i	aij Pjb .
					j 1
								m
Для вероятностей Pjb			выполняется условие:					Pjb	1.
			~					j 1		~
			~	max i . Задача минимизации						~
Введем обозначение				max i . Задача минимизации
				i
поиску max	1	. Произведем замену переменных:
поиску max	~	. Произведем замену переменных:
	~

						P
					y j	jb	.
					y j	~	.

Получаем задачу линейного программирования:

эквивалентна

		m	1
		max y j	1

				~
		j 1		y
		j 1
m
при ограничениях: aij y j	1	(при y j 0 ).

j 1

Решив задачу линейного программирования, получим

y	*
	*
	j

и значение

		~	1	, а искомые вероятности –
целевой функции ( ЦФ ). Цена игры –			ЦФ	, а искомые вероятности –
			ЦФ
*	*	~
Pjb	y j	.
		Алгоритм решения игры n x m для участника В
1. Переходим к положительным элементам платежной матрицы:
		aij C .

2.	Решаем задачу линейного программирования:
	m
	max y j ;
	j 1
	m
	aij y j 1	(i 1, 2,..., n), y j 0.
	j 1
3.	Интерпретируем результаты:

4. Корректируем

1		, P	*


ЦФ		jb

	C

y	*
	*
	j
.

Вернемся к теореме о минимаксе (см. п. 2.3).

Теорема о минимаксе. В матричной игре без

существует точка равновесия такая, что

седловой точки ( ) , aA , и оптимальные

решения для участников находятся из условий:

для

	*	} из условия
A – {Pia
B	*	} из условия
	– {Pjb

aB – цена игры.


max min
	j


min max
	i

n aij i 1

m aij j 1

Pia

Pjb

,

  

Доказательство.

В соответствии с рассмотренным алгоритмом существует решение для участника А Pia* , определяемое из условия:

		n		a
		n
max	min	a P			A	;
	j	ij ia			A
	j	i1
		i1
			*
и существует решение для участника В			Pib	, определяемое из условия:
		m
min max		aij Pjb aB .
	i	j1
		j1

Из теоремы о прямой и двойственной задачах линейного программирования следует, что aA aB .

2.4.Биматричные игры

Вбиматричных играх задаются матрицы выигрышей для обоих участников:

aij	– матрица n m выигрыша для игрока	A
bij	– матрица n m выигрыша для игрока	B .
Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии P*			и
		ia

*	.
Pjb

	2.4.1. Принципы решения биматричных игр
Пусть	Sa Pia – стратегия для игрока A , а		Sb Pjb – стратегия для
игрока B .
Определение 3 (приемлемая		стратегия) Смешанная			стратегия		Sa
является приемлемой для игрока		A , если для любой другой смешанной
стратегии				Sb	полезность для
	Sa и фиксированной смешанной стратегии
игрока A	стратегии Sa больше, чем полезность стратегии
						Sa . Таким
образом, для любой смешанной стратегии			Sb	можно		определить
приемлемую стратегию Sa .

Можно условно графически представить зависимость приемлемой

стратегии Sa	как функцию от	Sb , представленной на рис. 2.5.
Смешанная стратегия Sb		игрока	B является приемлемой, если при
любой другой смешанной стратегии
любой другой смешанной стратегии			Sb и фиксированной смешанной
стратегии Sa	выполняется:

	b Sa , Sb b Sa , Sb .

Sa	Sa
Рис. 2.5. Множество приемлемых	Рис. 2.6. Множество приемлемых
стратегий для участника А	стратегий для участника B

Зависимость приемлемой стратегии

S	b

от

S	a

также можно условно

представить в виде функции Gb Пересечение двух множеств

(рис. 2.7):

(рис.

Fa и

2.6).

Gb дает решение биматричной игры

S*b

S*a Sa

Рис. 2.7. Определение оптимальных смешанных стратегий

Проиллюстрируем принцип решения биматричных игр на задаче размерности 2 2 .

2.4.2.Решение биматричных игр 2 2

Вкачестве исходных данных заданы две матрицы:

, P

Смешанные стратегии для

, для

Выигрыш участника

равен:

a S

P P

a21

P P

a22

P P

2a 2b .

С учетом

a Sa , Sb a11P1a P1b a12 P1a

1 P1b

a21 1 P1a P1b a22 1 P1a

1 P1b .

После упрощения получим:

a S

, S

Так как в нашем случае смешанная стратегия

определяется одной

вероятностью

, а

то условие приемлемой стратегии для S

запишется в виде:

a P1a , P1b

a P1a , P1b .

Чистая стратегия

S1a

будет приемлемой (лучшей), когда

P1a 1

или

когда

a a

0 .

Из данного неравенства можем сделать вывод, что чистая стратегия

– приемлемая, если P

a22

a12

a11 a22

a12

a21

при знаменателе C a11 a

Если же C 0	, то тогда
*
при P1b P1b .
Напротив, стратегия S2a
	P	a
	1b	11

22 a12 a21 0 .
P		a		a
			22	12

1b	a	a		a
			22
	11			12

a	, и	S1a	– приемлемая
a	21
	21
0	, т.е.	при условии, что
a21 0 .

Таким образом, при

C 0

стратегия

S	2a

приемлема, если

	*		a	22	a
P1b	P1b		a		a	a	, а при C
		a	a	22	a	a	21
		11		22	12		21

На рис. 2.8 приведены зависимости при

– если

и C

P1b0

P	*

1b

P1b	C>0	P1b	C<0
1		1
		Fa

P*1b

0	0
1 P1a	1 P1a

Рис. 2.8. Множество приемлемых стратегий для участника А

Для построения

G	S	, S
b	1a	1b

запишем выражение для выигрыша

участника

B :

b S

, S

P P

;

2a 2b

1 P

; P

1 P

;

b S

, S

b .

Чистая стратегия

S1b

– приемлемая

, если

или P

b22 b21

P* ,

b11 b22

b12

b21

при условии, что знаменатель

D b11

b22 b12

b21

0 .

Если D 0 , то чистая стратегия S1b приемлема при

P		b	b
P		22		21
		22		21
1a	b	b	b			b
	b	b	b			b
	11	22		12			21
На рис. 2.9 приведены зависимости				G	P		, P
На рис. 2.9 приведены зависимости				b		1a	1b

P* . 1a

при

D 0

P1b	D<0	P1b	D>0
1		1
	Gb
			Gb
0	P*1a	0	P*1a
	P*1a	1 P1a	P*1a	1 P1a
	Рис. 2.9. Множество приемлемых стратегий для участника B
Решением биматричной игры будет пересечение Fa				и Gb .
Возможны четыре варианта пересечения			Fa и Gb	(в зависимости от
знаков C	и D ).

Первый вариант

P
1b
	1
	G	F
	b	a
P	*
P
1b

P 1a

0	P	*	1

	1a

P1b

1	(1,1)
	Gb
P*	F
1b	a

C 0, D 0 .		Решение
	*	*
единственное –	P1a	, P1b .

Второй вариант

C 0, D 0 . Решением будет P1*a , P1*b , точки

0	P*	1
	1a

пересечения (1,1) и (0,0) – неустойчивы.

Третий вариант

P1b

1 Gb

P* 1b

P1a

	C 0, D 0 . Решением будет
P*	, P*	. Точки (1, 0) и (0, 1) дают
1a	1b

неустойчивые решения.

0		P	*	1
0		P		1
		1a
P
1b
1
		G
			b
*
P
1b
				F
				a
				P
				1a
0	P	*		1
0	P			1
	1a

Четвертый вариант

C 0, D 0		. Решение единственное
*	*
– P1a ,	P1b .

Пример решения биматричной игры. Для каждого участника задана

матрица выигрышей:

a		3
a	ij	1
	ij

1 6

b		6

ij		1

0 3

Находим оптимальные смешанные стратегии:

a22 a12

6 1

, C 0;

a11

a22 a12 a21

3 6 1 1 9

b22 b21

3 1

, D 0.

b11

b22 b12 b21

6 3 1 5

Рассчитываем выигрыши участников игры:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.201514.84 Кб14Домашнее задание_1.docx
#
21.08.201999.84 Кб6Доп к практическим заданиям по сетевой экономик...doc
#
01.07.2025111.71 Кб0Доп материал тема СО -герконы.docx
#
08.11.2019136.99 Кб1ДФП.docx
#
04.06.2015175.62 Кб53Дыхательная гимнастика Стрельниковой.doc
#
05.06.2015928.35 Кб60Е.А. Елтаренко. Теория игр. Конспект лекций.pdf
#
11.11.2019307.2 Кб46Е.И. Бабаджан "Методические рекомендации к испо...doc
#
01.05.20252.89 Mб0Естествознание и окружающая среда - Каразанова.doc
#
01.04.2025824.76 Кб3Жарова.docx
#
01.05.202546.16 Кб0Желудок, инструкция к использованию.docx
#
04.06.201569.63 Кб30Жесткость воды.doc