ВТА и Численные Ряды. 3 Семестр

31. Разложение в ряд Тейлора функций In (1 + х), (1 +

х.)m

1)

f(x) = ln(1+x)

ln(1+x) = x - (x2/2) – (x3/3) + … + (-1)n+1(xn/n) + rn(x)

rn 0 при n на ]-1;1[

ln(1+x) = n=1 (-1)n+1(xn/n)

2)

f(x) = (1+x)m

(1+x)m = 1 + mx + [(m(m-1)x2)/(2!)] + … + [(m(m-1)(m-

2)…(m-n+1)xn)/(n!)] + rn(x)

(1+x)m = n=0 [(m(m-1)(m-2)…(m-n+1)xn)/(n!)].

32. Пространство кусочно-непрерывных функций с

условию f(xi) = [f(xi - 0) + f(xi + 0)]/2.

квадратной метрикой. Ортогональные и

Опр. Последовательность 1, 2, … , n называется

ортонормированные системы. Ряды Фурье по данной

ортонормированной системой, если входящие в эту

ортогональной системе.

последовательность элементы попарно ортогональны и

Опр. Лин пр-во R наз евклидовым (нормированным), если

имеют норму, равную единице ║ i║=1. (А элементы

ортогональны, когда их скалярное произведение равно 0)

вып след два требован:

Опр. Назовем рядом Фурье элемент f по

1) известно правило, по кот. любым двум элем. f и g пр-ва R

ортонормированной системе { k } ряд вида: k=1 fk k в

став в соотв. число, называемое скалярным произведением

котором через fk обозначены постоянные числа, называемые

этих элементов и обозначаемое символом (f, g);

коэффициентами Фурье элемента и определяемые

2) указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам:

равенствами fk = (f, k), где k = 1,2, … k=1 nfk k – n-ая

1°- (f, g) = (g, f) - переместительное свойство.

частичная сумма ряда Фурье.

2°- (f+g, h} = (f, h) + (g, h) —распределительное свойство.

Опр1. Ортонорм сист { k } наз замкнутой, если для

3°. ( f, g) = (f, g) для любого вещественного числа .

любого элемента f данного евкл пр-ва R и для люб полож

4°. (f, f) > 0, если f 0, (f, f) = 0, если f = 0.

числа найдется такая лин комбин конечного числа

Классическим примером бесконечномерного евклидова

элементов { k }, отклон которой от f (по норме пр-ва R)

пространства является пространство всех кусочно-не-

меньше .

прерывных на некотором сегменте а х b функций.

Опр2. Ортонорм сисит { k

},

наз полной ,

если, кроме

Кусочно-непрерывная на сегменте [а, b] функция f(x) такая

нулевого элемента не сущ ни какого др элем f данного евкл

функция, которая непрерывна всюду на сегменте [а, b], за

пр-ва, который был бы ортогон

ко всем элем k системы {

исключением, быть может, конечного числа точек xi (i =1,

2,… , n), в которых она имеет разрыв первого рода, причем

k }.

в каждой точке разрыва xi эта функция удовлетворяет

33. Тригонометрические ряды Фурье, формулы для

соответствующий ряд Фурье имеет вид: f(x) a0/2 + n=1

коэффициентов. Ряды Фурье четных и нечетн. функций.

anCos( nx/L) (3), где an = (2/L)0 L f(x)Cos( nx/L)dx

Опр. Тригон. Рядом Фурье ф-ии f кусочно непр на отр [-

Если f(x) – нечетная, то f(x) n=1 bnSin( nx/L) (4) ; bn =

; ], наз ряд Фурье тригонометр ОНС: (1/(2 )1/2), (Cosx/ 1/2),

(2/L)0 L f(x)Sin( nx/L)dx

(Sinx/ 1/2), … , (Cosnx/ 1/2), (Sinnx/ 1/2),

Док-во1)пусть f(x) –четное, тогда f(x) Cos( nx/L) также

Пользуясь общим определением ряда Фурье тригоном ряд

четная, а f(x)Sin( nx/L) –нечетная, поэтому согласно (((

Фурье может быть записан в виде: f0(1/(2 )1/2) + n=1

если -L L f(x) dx={2*0 L f(x)dx, если f(x)-четная;0-если f(x)-

(fn(Cosnx/ 1/2)+f(Sinnx/ 1/2)) (1)

нечетная))) мы имеем an = (1/L)-L L f(x)Cos( nx/L)dx= (2/L)0 L

f0 = - f(x)(1/(2 )1/2)dx ; fn = - f(x)(Cosnx/ 1/2) ; fn = -

f(x)Cos( nx/L)dx , в то

же время bn

= (1/L)-L L

f(x)(Sinnx/ 1/2)

f(x)Sin( nx/L)dx =0. 2}f(x)-нечетная ,то f(x)

Cos( nx/L)

Но в дальнейшем мы будем пользоваться иной формой

нечетная, а f(x)Sin( nx/L) –четная, тогда an

= (1/L)-L L

записи ряда Фурье

f(x)Cos( nx/L)dx=0, bn = (2/L)0 L f(x)Sin( nx/L)dx

f(x) a0/2 + n=1 (anCosnx + bnSinnx) (2)

a0 = (1/ )- f(x)dx (a0 =f0*1/(2 )1/2)

an = (1/ )- f(x)Cosnxdx (an = fn/ 1/2)

bn = (1/ )- f(x)Sinnxdx (bn = fn/ 1/2)

Здесь a0, an, bn – коэфициенты Фурье

Замечание для ряда (2) нер-во Бесселя запис след образом:

k=1 f2k || f ||2

a0/2 + n=1 (a2n + b2n) (1/ )- f2(x)dx (3).

Теорема. Если f(x) –четная, интегрруемая на [-L,L] то

34. Разложение функций в ряд Фурье по косинусам и по

синусам на интервале. ]0,1[.есть в лекции

1) Пусть f(x) задана на [0,L]. Доопределим ее на [–L,0]

продолжив четным образом. В результате на отрезке [–L,L]

будем иметь функцию:

f*(x)={f(x), если 0<x≤L ; f(-x), если –L≤x≤0}

Сделаем период. продолжение f*(x) на всю числов. ось.

Ряд Фурье будем содержать только косинусы.

f*(x)~ n=1 anCos( nx/L), n=0,1,…; an=(2/L)0 L

f(x)Cos( nx/L)dx

f(x)~ n=1 anCos( nx/L) на [0,L]

2) Доопределим задан. функцию на [–L,0[, продолжим ее

нечетным образом

f*(x)={f(x), если 0<x≤L ; 0, если x=0 ; f(-x), если –L≤x<0}

В этом случае ряд Фурье будет выглядеть след. образом:

f*(x)~ n=1 bnSin( nx/L), n=0,1,…; bn=(2/L)0 L

f(x)Sin( nx/L)dx, n=1,2,…

35. Экстремальные свойства частичных сумм ряда

Таким образом если мы хотим данную ф-ию f представить в

Фурье. Неравенство Бесселя.

виде многочлена f k=1 n Ck k и при этом потреб наим

k=1 Ck k (10’) произв лин комбин первых n элементов

отклонения по норме ф-ии f от данного многочлена то коэф

ОНС { k}

Ck должны быть коэфициентами Фурье ф-ии f по данной

Sn = k=1 n fk k (10) n- ная частичная сумма ряда Фурье k=1 n

ОНС { k}.

fk k (9) частичная сумма ряда Фурье

Следствие1. Для Для f R, ОНС { k}, { Ck }, n : ||

Опр. Отклонением по норме элем g от f наз величина || f-g

f ||2 - k=1 n f2k

|| k=1 n Ck k – f ||2 (12)

||,т.е.если f и g опр на [a,b], то || f-g || = (a b[f(x) – g(x)]2dx)1/2

Это нер-во из (11) т.к. лев часть (11) неотрицательна.

Основная ТеоремаСреди всех сумм вида (10’) наименьшим

Следствие2.

Тождество Бесселя:

отклонением от f по норме данного евкл пр-ва имеет n- ная

Для f R, ОНС { k}, n справедливо тождество

частичная сумма (9) ряда Фурье ф-ии f.

Бесселя || k=1 n Ck k – f ||2= || f ||2 + k=1 n f2k

(13)

Док-во:Рассмотрим квадрат нормы, пользуясь аксиомами

Для док-ва дост в (11) положить Ck = fk.

скалярного произведения, а также учитывая, что { k} – ортонорм

Th(Неравенство Бесселя)

сист ф-ий.

Для f R, ОНС { k} справедливо нер-во Бесселя:

|| k=1 n Ck k – f ||2 = (k Ck k – f, k Ck k – f) = k C2k ( k, k)

– 2 k Ck(f, k) + (f, f) = k C2k – 2 k Ck fk + || f ||2 = C2k

- 2 k

k=1 f2k || f ||2 (14)

Ck fk + k f2k + || f ||2 - k f2k =

k (Ck - fk)2

- k f2k + || f ||2

Док-во:Лев часть тожд Бесселя (13) неотрицательна, по

(Мы восп: ( k, n) = 1 при k=n, = 0 при k k)

этому неотрицательна и правая часть.(15) k=1 n f2k || f ||2

это

n

k

– f

означает,

что ряд k=1 f2k имеет огранич послед частичных

После этих преобраз мы имеем выражение: || k=1 Ck

сумм, кроме того этот ряд состоит из неотриц элементов

2

2

2

2

|| = k (Ck - fk)

- k f k + || f || (11)В левой части стоит

послед частичн сумм монотонно возрастает ряд

квадрат отклонения суммы (10) от f по норме.

Миним квадрат отклонения будет тогда, когда || k=1 n Ck k –

сходится. Переходя в нер-ве (15) при n мы получим нер-

f ||2 = 0 Ck = fk

во (14)

36. Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном. Равномерная

Вейерштрасса (МПВ) :

сходимость.

1)

| an*cos(nx)| ≤ |an|

Пусть каждая ф-ция последовательности

{fn(x)}

интегрируема на

2)

| bn*sin(nx)| ≤ |bn|

Для доказательства теоремы достаточно доказать сходимость ряда

[a,b]. Пусть так же функция f(x) ,

являющаяся предельной ф-цией,

∞

(2)

тоже интегрируема на [a,b]. Тогда ф-ция

(f(x)

–

2

2

n=1∑ (|an| + |bn|)

fn(x)) = f (x) –

Найдем производную f ‘(x) :

в точках ,

где f ‘(x)

не существует ,

2*f(x)*fn(x)+f2n(x)

будет так же интегрируема на этом отрезке.

определим

ее

произвольно .

Разложим

f

‘(x)

в

ряд Фурье,

Опр1. Говорят, что последовательность {fn(x)} сходится в среднем

обозначим коэффициенты ряда через αn , βn.

b

(или в среднеквадратичном) функции f(x) на [a,b] , если lim a∫

(fn(x)-

α = (1/π)*

∫π f ’(x)*cos(nx)*dx = { cos(nx)=u , f ’(x)*dx=d(f(x))=dv }

2

2

n

-π

= (1/π)*[(f(x)*cos(nx))-π|π + n*-π∫π

f(x)) *dx = 0 при

n ─>∞. Т.к. (fn(x)-f(x))

это норма, то это означает

=

сходимость по норме.

∞

f(x)*sin(nx)*dx] = 0 + n*(1/π)*

-π

∫π f(x)*sin(nx)*dx = n* b

n

.

Опр2.

Говорят, что функциональный ряд

n=1∑

Un(x) сходится в

Аналогично :

βn = (1/π)*-π∫π f ’(x)*sin(nx)*dx = -n*an . => |an| + |bn| =

среднем функции

f(x) на [a,b] , если послед-ть его частичных сумм

|αn|/n + |βn|/n , и для доказательства сходимости ряда (2) нам нужно

{Sn(x)}

сходится в среднем

к

его сумме S(x)

на [a,b].

Если

доказать сходимость ряда :

последовательность или ряд сходятся в среднем на [a,b] ,

то он сходится в

n=1∑∞ ( |αn|/n + |βn|/n )

(3) .

Напишем тождественное равенство :

среднем на любом [c,d]Є[a,b] .

(|αn| - 1/n)2 = |αn|2 –

- (2/n)*|αn| + 1/n2 ≥ 0

=>

|αn|/n ≤ (αn2

Признак абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического

+ 1/n2 )/2 .

Аналогично |βn|/n ≤ (βn2 + 1/n2 )/2 .

ряда Фурье:

Th. (достаточные условия равномерной сходимости) Пусть функция f(x)

=>

мы получили , что :

|αn|/n + |βn|/n ≤ (αn2 + βn2)/2 + 1/n2 .

Ряд

непрерывна на [-π;π] , имеет на этом отрезке кусочно-непрерывную

n=1∑∞[(αn2 + βn2)/2] сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно-

производную

, и

удовлетворяет

условию

:

f(π)=f(-π) .

Тогда

непрерывной функции f ‘(x) по норме , а

n=1∑∞ 1/n2 – это числовой

тригонометрический ряд Фурье ф-ции f(x) сходится к этой

ф-ции на

[-π;π]

сходящийся ряд (по интегральному признаку Коши-Маклорена). =>

равномерно, причем так же равномерно сходится и ряд ,

составленный из

n=1∑∞ [(αn2

+ βn2)/2 + 1/n2]

сходится , значит и сходится ряд (3) по

модулей элементов этого ряда Фурье.

МПВ. #

Док-во:

доказательства теоремы достаточно доказать , что к

Замечание: Если f(x) , удовлетворяющую услевиям теоремы , периодически с

функции f(x) сходится равномерно ряд : |a0|/2 + n=1∑∞(|an*cos(nx)| +

периодом 2*π продолжить на всю числовую ось, то тригонометрический ряд

|bn*sin(nx)|)

(1) .

Воспользуемся мажорантным признаком

Фурье будет сходится к такой функции на всей числовой оси.

37. Замкнутые ортогональные системы функций.

неравенство (10.25) будет тем более справедливо, ибо при

Условие Парсеваля. Замкнутость тригонометр. системы.

возрастании n сумма, стоящая в левой части (10.25) может

Опр1. ОНС { k } наз. замкнутой, если f данного евкл. пр-

только возрасти.

ва R и >0 найдется такая лин. комбин. конечного числа

Итак, мы доказали, что для произвольного > 0 найдется

элементов { k }, отклон. которой от f (по норме пр-ва R)

номер n, начиная с которого справедливо неравенство

меньше .

(10.25).

Теорема 10.5. Если ортонормированная система{ k }

это означает, что ряд k=1 n f2k сходится к сумме || f ||2

является замкнутой, то для любого элемента f

Теорема 10.10. Тригонометрическая система { k } (10.11)

рассматриваемого евклидова пространства неравенство

является замкнутой т. е. для любой кусочно-непрерывной

Бесселя переходит в точное равенство k=1 f2k =

|| f ||2

на сегменте [ , ] функции f(x) и любого положительного

называемое равенством

Парсеваля.

числа найдется тригонометрический многочлен Т(х)

Доказательство.

такой, что || f(x) – T(x) || = (- [f(x) – T(x)]2dx)1/2 <

Фиксируем произвольный элемент f рассматриваемого

евклидова пространства и произвольное положительное

число . Так как система { k } является замкнутой, то

найдется такой номер n и такие числа С1, C2, ... , Сn, что

||k=1 n С k fk -f||2 =

|| f ||2 <

. это означает, что для

произвольного >0 найдется номер n, для которого

|| f ||2 -

k=1 n f2k <

(10.25)

Для всех номеров, превосходящих указанный номер n,

38. Полные ортогональные системы функций. Теорема о

полноте замкнутых ортогональных систем.

Опр2. Ортонорм сисит { k }, наз полной , если, кроме

нулевого элемента не сущ ни какого др элем f данного евкл

пр-ва, который был бы ортогон ко всем элем k системы

{ k }.

Th3. Всякая замкнутая ОНС является полной.

Док-во: Пусть{ k } – замкнутая ОНС, пусть f R ,

который ортогон. по всем элементам k, т.е. для

k : (f, k

) = 0 требуется доказать, что f 0.Очевидно, что fk = ( k, f )

= 0, в силу равенства Парсеваля: k=0 f2k = || f ||2

|| f ||2 =

0. причем по аксиоме 1 f = 0.

1.

Аксиома 1:

, причём

только

при

;

2.

, где ;

3.

;

4.

.

39. Теорема о разложении функции в тригонометрический ряд

39. Рассмотрим выражение в [] (в ф-ле 10).

Фурье.

1) x0 – внутр точка прмеж непрерывности f(x0+0) = f(x0-0) =

В этой теореме участвуют две формулы:

f(x0)

Каждое из слагаемых в [] будет иметь вид: [(f(x0+t) - f(x0+0))/t] и

Sn(x0) = (1/ )*[- f(x)*[(Sin(n+1/2)(x0-x))/(2Sin((x0-x)/2))]dx] (6)-

[(f(x0-t) - f(x0-0))/-t] (11)

интеграл Дирихле

Каждое из этих выр f '(x0), а [] 0.

- = - 0

+ 0 = (1/ )*[0 [f(x0-t)+f(x0+t)]*[(Sin(n+1/2))/(2Sin(t/2))]dt]

2) x0 – точка излома и одновр непр. В этом случае (11)

(7)

справедливы, причем 1 прав произв в x0; 2 лев произв в x0.

Th. (Достаточное условие разлож. В ряд Фурье.)

Значения произв конечны и различны.

Если ф-ия f(x) с T = 2 кусочно непрерывна и кус. диф. на [- ; ], то

3) x0 – т-ка разрыва первого раода. Здесь мы получим

ее ряд Фурье сходится в каждой точке x0 числовой прямой и имеет

аналогичный результат, с той лишь разницей, что в соотношении

сумму: Sn(x0) = S0 = [f(x0+0)+f(x0-0)]/2

(11) вместо f'(x0) будет f'(x0-0), и f'(x0+0).

Док-во:Равенство (7) т.е интеграл Дирихле имеет место для f(x)

Таким образом мы доказали, что в случае конечный предел:

отвечающей условиям Th. в частности для f(x) 1. Тогда из (7)

limg(t) = K при t +0, положим в т-ке t=0 g(0) =K Тогда мы получим

получим: 1 = (2/ )*[0 [(Sin(n+1/2)t)/(2Sin(t/2))]dt] (8). Умножим обе

непр ф-ии g(t) в t=0 g(t) явл ку непр на [0; ] согл лемме Римана

части на S0. S0 = (1/ )*[0 [f(x0+0)+f(x0-0)]*[(Sin(n+1/2)t)/(2Sin(t/2))]dt]

инт в прав части (9) 0 при n lim[Sn(x0) – S0] = 0 Sn(x0)

Вычтим полученный результат из (7): Sn(x0) - S0 = (1/ )*[0 [ f(x0+t) +

Sn

f(x0-t) - f(x0+0) - f(x0-0)]*[(Sin(n+1/2)t)/(2Sin(t/2))]dt] Достаточно

доказать что при n инт. в правой части 0.

(1/ )*[0 g(t)(Sin(n+1/2)t)dt] (9). Где g(t) = [[(f(x0+t) - f(x0+0))/t] –

[(f(x0-t) - f(x0-0))/-t]]*[(t/2)/(Sin(t/2))] (10)Если доказать чтоg(t) – кус

непр то по лемме Римана предел(9) = 0 при t .

Ясно что в прмеж [0; ] непр всюду за искл быть может конечн числа

точек, где может иметь точки разрыва первого рода.

Исследуем поведение g(t) при t +0 lim[(t/2)/(Sin(t/2))] = 1 при t +0

40. Представление функции интегралом Фурье.

40. равенства в силу равном сходимости под знаком

Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.

интеграла, откуда получим I(A, x0) = (1/ )- + f(U)[(SinA(U-

Пусть f(x) кус непр на промеж и абсол инт на всей

x0))/(U-x0)]dU

– это и эсть то самое выраж, которое мы

хотели получить.

прямой, значит - + |f(x)|dx – существует. Пусть A > 0 -

Его можно преобразовать: U - x0 = t : I(A, x0) =

произв число, x0 - произв т-ка. Рассмотрим интеграл:

(1/ )0 + [f(x0+t) + f(x0-t)]((SinAt)/t)dt (3)

I(A, x0) = (1/ )0 Аdz- + f(U)Cosz(U-x0)dU (1)

Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.

Пусть задано B > 0, и ф-ия f(U) принадл классу C0 на[-B;B],

Запишем формулу (1) в следующем виде: f(x) =

тогда исп теорему об инт по параметру инт зав от парам с

(1/ )0 + Coszxdz- + f(U)CoszUdU f(x) + (1/ )0 + Sinzxdz-

конучными пределами (1/ )0 Adz-B +Bf(U)Cosz(U-x0)dU =

+ f(U)SinzUdU

(1/ )-B Bf(U)dU0 ACosz(U-x0)dz = (1/ )-B Bf(U)[(SinA(U-

1) f(x)– четная

x0))/(U-x0)]dU (U x0) (2)

+

+

f(U)CoszUdU

Замечание: Если f(U) кус непрер, то данные преобраз мы

VP-

f(U)CoszUdU = 2*0

VP- + f(U)SinzUdU = 0

можем сделать для каждого участка непрерывности.

f(x) = (2/ )0 + Coszxdz 0 + f(U)CoszUdU (7)

- + f(U)Cosz(U-x)dU - Этот инт явл равном сход по парам Z,

аналогично для нечетного.

т.к. мажорируется интегралом - + | f(U) |dU. Следовательно

f(x) = (2/ )0 + Sinzxdz 0 + f(U)SinzUdU (8)

инт завис от парам: -B +Bf(U)Cosz(U-x0)dU при B +∞, к

Пусть теперь ф-ия f(x) задана на [0, + ], тогда продолжая

своему пределу: V.P.- + f(U)Cosz(U-x0)dU(V.P-это главные

эту ф-ию четным или нечетным образом на левую часть

значения).

полупрямой, мы получим интеграл Фурье либо в виде (7)

Данный инт, в следств того что он мажорируется стремится

либо (8).

к своему пределу равномерно.

Перейдем к пределу в (2) при B + . В лев части этого

41. Комплексные формы записи интеграла Фурье.

Пусть вып услов представлени ф-ии f(x) интегралом Фурье

(Кус непр, абс интегр) f(x) – всюду непр,а в точках разрыва

ее знач будет: f(x0) = [f(x0+0) + f(x0-0)]/2

Тогда для точки x будет справедл форма Фурье: f(x) =

(1/ )0 + dz- + f(U)Cosz(U-x)dU (1)

Внутри интегр - четная ф-ия относ z Весь интегр можно

переписать в виде: f(x) = (1/2 )- + dz- + f(U)Cosz(U-x)dU

(2)

Т.к. выполн. нер-во |f(U)Sinz(U-x)| |f(U)|, а - + |f(U)|dU

сходится согласно мажорантному признаку Виерштрасса -

+ f(U)Sinz(U-x)dU – сход равномерно на всей оси OZ.

Для M > 0 -M Mdz- + f(U)Sinz(U-x)dU = 0 (4) M +

Рассм (4) в смысле главного значения VP- + dz-

+ f(U)Sinz(U-x)dU = 0 (5)

Умножим этот интеграл на (1/2i) и сложим с интегралом (2)

f(x) = (1/2 )- + dz- + f(U)[Cosz(U-x) + iSinz(U-x)]dU

По формуле Эйлера: f(x) = (1/2 )- + dz- + f(U)eiz(u-x)dU (6)

– это и есть комплексная форма записи интеграла Фурье.

42. Преобразование Фурье. Синус- и косинус-

42. Если для ф-ий f1,f2 прям. и обр. преобр. Фурье, то для

преобразование Фурье.

1, 2 прям. и обр. преобр. Фурье, для ф-ии (f1 1 + f2 2),

f(x) = (1/ )0 dz- + [f(U)CoszUdU] (8)

причем F(f1 1 + f2 2) = 1F[f1] + 2F[f2].

Следует из линейных св-в интеграла.

f(x) = (1/2 )VP- + dz- + [f(U)eiz(U-x)dU] (6)

Синус- и Косинуспреобразования Фурье.

Положим в последнем интеграле

Пустьf(x),определена на [0, + ] и представлена интегралом

Ф(z) = (1/(2 )1/2)- + [f(U)eizUdU] (9)

Фурье для ее четного продолжения f(x) =

Ф(z) = (1/(2 )1/2)VP- + [ Ф(z)e-izxdz] (10)

(2/ )0 + [Coszxdz[0 + f(U)CoszUdU]] (7)

Опр1. Ф-ия Ф которая ставится в соответствие f по

Введем обозначения Fe(z) = ((2/ )1/2)0 + f(U)CoszUdU (15)

формуле Ф(x) = (1/(2 )1/2)- + [f(U)eixUdU] (11) наз.

f(x) = ((2/ )1/2)0 + Fe(z)Coszxdx (16) - называется Косинус-

преобразованием Фурье ф-ии f, и обозначается символом

преобразованием Фурье для ф-ии f.

F[f] или f .

Аналогично, с помощью нечетного преобразования f

Опр2. Ф-ия Ф, которая ставится в соответствие ф-ии f по

получим интеграл Фурье в виде:

формуле Ф(x) = (1/(2 )1/2)VP- + [ f(U)e-ixUdU] (12) наз.

f(x) = (2/ )0 + [Sinzxdz[0 + f(U)SinzUdU]] (8)

обратным преобразованием Фурье, и обозначается

1/2

+

символом F-1[f] или f.

Fs(z) = ((2/ )

)0

f(U)SinzUdU (17)

Замечание:

f(x) = ((2/ )1/2)0 + Fs(z)Sinzxdx (18)

Ф-ия Fs наз. Синуспреобразованием Фурье ф-ии f.

Прямое и обратное преобразования Фурье – есть

Заметим, что (16) и (18) дают и обратные преобразования

взаимообратные ф-ии:

Фурье (они симметричны).

F-1[F[f]] = F[F-1[f]] = f

Линейность преобразований Фурье.

43. Интегральный признак сходимости Коши-

43. тогда и только тогда, когда сходится несобственный

Маклорена для рядов с неотрицательными членами.

интеграл

Th Пусть f(x) определена при любом x ≥ m , и пусть она

1 ∫+∞f(x)dx (т.к. lim an = 1∫+∞f(x)dx)

#

неотрицательна и монотонно убывает (m – фиксир-й

ПРИМЕР

номер). Тогда ряд ∑ f(n) {n:m,…,∞} =f(m)+f(m+1)+… (1)

Исследовать на сходимость ряд ∑ (1/nα)

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл:

Пусть α>1: f(x)=1/xα

n + f(x)*dx

1∫+∞(1/xα)dx сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1

Док-во: не уменьшая общности, докажем Th для m=1.

Пусть x [ k ; k+1] , т.е. :

k ≤ x ≤ k+1.Тогда

f(k+1)≤f(x)≤f(k) (неравенства выполняются в следствии

монотонности f(x)). k k+1f(k)dx ≥ k k+1f(x)dx ≥ k k+1f(k+1)dx,

f(k)*1 ≥ k k+1 f(x)*dx ≥ f(k+1)*1Суммируя это нер-во от k=1

до k=n , получим :

k=1∑n f(k) ≥ 1∫n+1f(x)dx ≥ k=1∑n f(k+1)Обозначим через Sn ряд

k=1∑n f(x)

Тогда выполняется:Sn

≥ 1∫n+1f(x)*dx ≥ Sn+1 ─ f(1)

(3)

{ т.к. ∑f(k+1)=f(2)+f(3)+…+f(n+1)=[f(1)+f(2)+…+f(n+1)]-

f(1) }

Обозначим

{an} ≡ 1∫n+1 f(x)dx , тогда Sn ≥ an ≥ Sn+1 – f(1)

(4) => , что посл-ть an не убывающая; для её сход-ти

необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

Для сходимости (1) необходимо и достаточно, чтобы {Sn}

была ограниченна, но из (4) => , что ограниченна {an} , т.е.

44. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о сходимости

44. эта последовательность монотонно возрастает и ограниченна

знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда Лейбница.

сверху, то она сходится .

Абсолютно условно сходящиеся ряды.

Пусть

limS2k = S при k─>∞. Покажем, что нечетные частичные суммы ряды

Лейбница сходится к тому же пределу: действительно S2k+1 = S2k +U2k+1. Но, т.к.

Знакопеременные ряды:

ряд сходящийся и , =>, выполняется признак сходимости, то при k ─> +∞ U2k+1

Пусть члены ряда n=1∑+∞Un

с изменением номера принимают как

─> 0, => S2k+1 ─>S.#

положительные,

так

и

отрицательные значения.

Такие ряды

Th(оценка остатка ряда Л-ца)

Любая частичная сумма Sn ряда Л-ца отличается от его суммы S на величину,

называются знакопеременными.

меньшую члена ряда Un+1, т.е. | Rn | = | S-Sn | < | Un+1 | .

Знактчередующийся ряд:

Док-во : Докажем сначала, что для рядов Л-ца справедливо: для

Рассмотрим знакопеременный ряд такой, у которого «+» и «-»

любого k : S 2k ≤ S ≤ S 2k+1

.Т.к. S – это lim монотонно

члены чередуются: n=1∑+∞ [(-1)^(n+1)]*Un (для любого n : Un > 0

(Un < 0))

возрастающей посл-ти {S2k}, то S 2k ≤S. В то же время S2k+1=S2k-1 +(-

1)2k+1*U2k+ (-1)2k+1+1*U 2k+1== S2k-1 – (U2k-U2k+1)

=> S2k+1 ≤ S2k-1 , это

Ряд Лейбница:

означает , что { S2k-1 } монотонно убывает. Т.к. S=lim { S2k+1 } , от S –

Опр. Рядом Леибница наз знакочередующийся ряд ∑[(-1)(n+1)]*Un

(для любого n: Un > 0) , члены которого, взятые по модулю,

это есть еще и предел { S2k-1 }, поэтому

S ≤ S 2k-1 и S ≤ S 2k+1 .

Т.о. S 2k ≤ S ≤ S 2k-1 (*) так же S 2k ≤ S ≤ S 2k+1

(**)

образуют невозрастающюю бесконечно малую последовательность,

Далее, S-S2k ≤ S2k+1 – S2k = U2k+1 => S - S 2k ≤ U 2k +1 . Из (*) => , что

т.е. :1) для любого n : Un ≥ Un+1 > 0 (2)

S 2k-1 – S ≤ S 2k-1 – S 2k = U 2k (S 2k – S ≤ S 2k-1 – S ≤ S 2k-1 – S 2k = U 2k) ,

2) lim Un = 0 при n─>∞ (3)

=> S - S 2k ≤ U 2k +1 => S 2k - S ≤ U 2k => | S - S n | ≤ U n +1 . #

Th Лейбница : Ряд Лейбница сходится.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды:

Док-во: Рассмотрим

четные частичные суммы ряда Лейбница

Опр1. Ряд ∑Un (1) наз абсолютно схд-ся ,если сходится ряд ∑|Un| (2).

:S2k = n=1∑2k [(-1)^(n+1)]*Un , т.е. S2k = (U1-U2) + (U3-U4) + … +(U2k-1

Th Если ряд сход-ся абсолютно, то он сход-ся .

– U2k) {здесь Un ≥ Un+1}

Док-во:

по критерию Коши :

для того, чтобы (1) сходился , надо, чтобы для

=> выражения в скобках не отрицательны, => S2k ≤ S2*(k+1).

любого ε > 0 нашелся такой номер N(ε) такой, что для любого n ≥ N и любого

Это означает, что последовательность четных частичных сумм

p N (N-это мн-во натуральных чисел)

: |k=n+1∑n+p Uk| < ε .Т.к. (2)

монотонно возрастает ;

кроме того , частичные суммы S2k можно

сход-ся , то на тех же условиях k=n+1∑n+p| Uk | < ε. Т.к. |k=n+1∑n+p Uk| <

записать : S2k=U1-(U2-U3)-…-((U2k-2) –(U2k-1))-U2k. Здесь выражения

k=n+1∑n+p| Uk | < ε, => ряд (1) сходится (по критерию Коши) #

в скобках ≥ 0, U2k >0. => S2k < U1,т.е. {S2k} ограниченна сверху. Т.к.

Опр2. Ряд ∑Un наз сход-ся условно, если он сходится, а ряд ∑|Un| –

расходится