Sapunov_Prikladnaya_teoriya_uprugosti_2008

Отметим, что в разделе 1.4.1 граничное условие в форме Колосова представлено с использованием угла α , который нормаль n составляет с осью x , а здесь перешли к углу θ. Однако не надо упускать из виду, что направления осей r и θ противоположны направлениям n и t . Соответственно, поскольку α = θ± π, то

e2iα = e2iθ , и вид граничного условия остается прежним. Граничное условие в форме Колосова предполагает использова-

ние комплексных функций

ложениями вида1

Дифференцируем функции ϕ(z) и ψ(z). Будем иметь:

1Для конечной многосвязной области функции ϕ0 (z) и ψ0 (z) голоморфны вне любой окружности, охватывающей все контуры (при достаточно больших значениях z ). Если имеется только один контур (плоскость с отверстием), то эти

функции будут голоморфны во всей области S , если только начало координат взято вне области S , т.е. внутри отверстия.

41

Перепишем полученные соотношения в форме рядов

где введены новые обозначения для коэффициентов:

Отметим, что коэффициенты разложения a1 и a1′ связаны между собой условием однозначности перемещений κa1 + a1′ = 0 .

Поскольку соотношения, полученные для комплексных функций Φ(z) и Ψ(z), предназначены для использования в граничном условии при r = R , перепишем их в следующем виде:

Правую часть граничного условия также представим в форме ряда

N −iT = +∑∞Ak eikθ ,

−∞

где коэффициенты Ak разложения известны.

42

Подставляя преобразованные соотношения в граничное условие, получим:

=+∑∞Akeikθ . −∞

Сравнивая коэффициенты при различных степенях eiθ , определим неизвестные коэффициенты разложений ak и a′k через из-

вестные Ak . Будем иметь:

− сравнение постоянных членов

43

− сравнение коэффициентов при e −ikθ, когда k ≥1

Для определения коэффициентов a1 и a1′ имеем два уравнения:

κa1 + a1′ = 0 , a1 −a1′ = A1R .

Решение этих уравнений относительно упомянутых неизвестных позволяет получить:

Окончательно можем выписать все определяемые коэффициенты рядов:

a0 = Γ , a′0 = Γ′ ,

Таким образом, первая основная граничная задача для бесконечной плоскости с круговым отверстием решена в общем виде.

44

Задачи

1.1. Одностороннее растяжение пластины, ослабленной круговым отверстием, имеющим радиус R .

В соответствии с условием задачи имеем, что контур кругового отверстия свободен от нагрузки, а на бесконечности напряжения принимают значения:

физический смысл (см. раздел 1.3.3). Рассматривая поведение напряжений на бесконечности, имеем:

Поскольку контур кругового отверстия не нагружен, имеем N −iT = 0 на L и, как следствие, все коэффициенты разложения Ak равны нулю.

Переходим к определению коэффициентов разложения комплексных функций Φ (z) и Ψ (z). Будем иметь:

45

С учетом коэффициентов разложений комплексные функции Φ (z) и Ψ (z) принимают вид:

Найденные соотношения для функций Φ (z) и Ψ (z) определяют решение по-

ставленной задачи в общем виде.

Определим теперь соответствующие компоненты напряжений, используя формулы, полученные в разделе 1.2.5:

σr + σθ = 2 [Φ(z)+Φ(z)] ,

σθ −σr + 2 iτr θ = 2e2iθ [z Φ′(z)+ Ψ(z)] .

Подставив соотношения для функций Φ (z) и Ψ (z) в приведенные формулы и проведя некоторые простые преобразования, будем иметь:

Поскольку второе уравнение распадается на два, для определения напряжений получаем следующие три уравнения:

46

Касательное напряжение τrθ определяется третьим уравнением, а для оты-

скания нормальных напряжений используем первое и второе. Окончательно будем иметь:

Решение рассматриваемой задачи в действительных переменных приведено в книге [1]. Там же проведен подробный анализ напряженного состояния с обсуждением его особенностей.

Для определения перемещений vr и vθ точек пластины воспользуемся их комплексным представлением в полярной системе координат (см. раздел 1.2.5):

2μ(vr +ivθ) = e−iθ [κϕ(z)− zϕ′(z)− ψ(z)] .

Необходимые комплексные функции ϕ(z) и ψ(z) определим по известным функциям Φ (z) и Ψ (z):

Подставляя значения комплексных функций в уравнение для перемещений и отделяя действительную и мнимую части, получим:

47

1.2. Всестороннее растяжение пластины, ослабленной круговым отверстием, имеющим радиус R .

Решение задачи о всестороннем растяжении пластины, ослабленной круговым отверстием, строится по схеме, предложенной при решении задачи 1.1.

В соответствии с условием задачи на бесконечности имеем

σ∞x = σ∞y = p , τ∞xy = 0 .

Определение действительных постоянных B , B′ и C′ , входящих в соотношения для функций Φ (z) и Ψ (z), в рассматриваемом случае дает:

Соответственно, для постоянных Γ и Γ′ получим:

Γ = p / 2 , Γ′ = 0 .

Как и в предыдущей задаче, имеем N −iT = 0 на L и Ak = 0 . Переходя к определению коэффициентов разложения комплексных функций Φ (z) и Ψ (z), будем иметь, что только два коэффициента отличны от нуля:

48

Напряжения и перемещения вычисляются по формулам, приведенным в предыдущей задаче. Не останавливаясь на промежуточных преобразованиях, приведем окончательные результаты:

Приведенное решение можно получить, используя непосредственно решение предыдущей задачи, суммируя два односторонних растяжения пластины соответственно по осям x и y . Подобная процедура возможна, поскольку в теории упру-

гости справедливы принцип пропорциональности решения заданной нагрузке и принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).

1.3. Равномерное нормальное давление, приложенное к обводу кругового отверстия радиуса R в пластине.

Из условия задачи имеем, что на бесконечности напряжения равны нулю, а на контуре кругового отверстия приложено равномерное нормальное давление p .

на направления нормали и касательной к контуру, принимают следующие значения:

N = −p , T = 0 .

Напомним, что внешняя нагрузка, действующая на контуре кругового отверстия, записанная в комплексном виде N −iT , должна быть представлена в форме ряда

N −iT = +∑∞ Akeikθ .

−∞

49

В рассматриваемом случае, когда N −iT = −p , будем иметь:

A0 = −p , Ak = 0 при k ≠ 0 .

Переходим к определению коэффициентов разложения комплексных функций Φ (z) и Ψ (z). В соответствии с имеющимися формулами, получим

a′2 = pR2 ,

а все остальные коэффициенты разложений функций Φ (z) и Ψ (z) равны нулю.

Определение напряжений и перемещений по имеющимся формулам не представляет особого труда. Не останавливаясь на промежуточных преобразованиях, приведем окончательные результаты:

1.4. Сосредоточенная сила, приложенная в точке неограниченной плоскости.

Решение задачи о бесконечной плоскости с круговым отверстием можно использовать для исследования напряженно-деформированного состояния в пластине, находящейся под действием сосредоточенных сил и моментов.

Поскольку в поставленной задаче на бесконечности напряжения равны нулю, постоянные Γ и Γ′ также равны нулю ( Γ = Γ′ = 0 a0 = a′0 = 0 ).

Будем считать, что внешние усилия, приложенные к контуру кругового отверстия радиуса R , имеют постоянную величину и направление, а их распределение по контуру отверстия задано в следующей форме:

50