ний Ламе, не отвечающее (не подчиняющееся) граничным условиям рассматриваемой задачи.

Во многих задачах частные решения находятся сравнительно просто (примеры можно найти в литературе). Тогда решение всей задачи сводится к отысканию функций u0 , v0 , w0 , удовлетворяю-

щим однородным уравнениям Ламе и граничным условиям. Граничные условия для перемещений u0 , v0 , w0 находим из

той же поверхности.

6. Постановка температурных задач линейной теории упругости

Предположим, что до деформирования точки тела имели температуру T0 , а после деформирования – температуру T1 ( T0 и T1 – функции координат x , y , z ).

Будем считать, что разность температур T = T1 −T0 такова, что

не меняет механических свойств материала. Это означает, что если провести механические испытания образца на растяжение при температуре T0 , а затем при T1 , то значения упругих постоянных E и

ν получатся в обоих случаях одинаковые.

Учитывая принятое предположение, можно утверждать, что единственным следствием нагрева (с точки зрения влияния на деформирование тела) будет возникновение дополнительных деформаций, обусловленных всесторонним тепловым расширением. Эти деформации накладываются на упругие и должны быть учтены при формулировке задачи.

В соответствии с этим утверждением можем записать:

104

где ~εx , ~εy , ~εz – упругие деформации, т.е. деформации, вызванные приложенными внешними нагрузками; εx , εy , εz – дефор-

мации, обусловленные объемным расширением тела в результате изменения температуры. Очевидно, что температурные деформации можно определить следующими соотношениями:

εx = εy = εz = αT ,

γxy = γ yz = γzx = 0 .

Упругие деформации будут подчиняться одному и тому же физическому закону как при температуре T1 , так и при температуре

T0 (в силу принятого допущения). Поэтому для суммарных деформаций линейный физический закон можно записать в форме:

Соответственно, соотношения физического закона в форме Ламе принимают вид

σx = λθ + 2με x − (2μ + 3λ) αT ,

. . . ,

τxy = μγxy ,

. . .

Будем далее считать, что компоненты полной деформации связаны с компонентами полного перемещения обычными соотношениями Коши.

Дифференциальные уравнения равновесия объемного элемента остаются без изменения, и, таким образом, полная система уравне-

105

ний для решений температурной задачи теории упругости определена.

Решим поставленную температурную задачу в перемещениях. Следуя общей схеме получения уравнений в перемещениях, уравнения Ламе получим в виде:

Таким образом, если считать температуру нагрева заданной функцией координат точек, то учет нагрева при решении задачи в перемещениях формально сводится к появлению в уравнениях Ламе дополнительной объемной силы, которая в каждой точке тела будет пропорциональна градиенту температуры.

Посмотрим, какой вид будут иметь граничные условия на тех участках поверхности тела, где заданы внешние силы. Для этого соответствующим образом преобразуем граничные условия:

X = σxl + τyx m + τzx n ,

Y = τxyl + σy m + τzy n ,

Z = τxz l + τyz m + σz n ,

106

подставляя напряжения, представленные через перемещения. Будем иметь:

Fy = . . . ,

Fz = . . .

Здесь введены обозначения:

Fx = X +(2μ+3λ) αT l ,

Fy =Y +(2μ+3λ) αT m ,

Fz = Z +(2μ+3λ) αT n .

Видим, что в граничных условиях появились дополнительные слагаемые, которые могут рассматриваться как фиктивная нагрузка, распределенная на тех участках поверхности, где граничные условия формулируются в напряжениях. Что касается участков поверхности тела, где заданы перемещения, то для них формулировка граничных условий остается прежней.

Тот факт, что изменение температуры формально эквивалентно появлению дополнительных внешних объемных и поверхностных сил, говорит о том, что путем только одного нагрева (или охлаждения) упругого тела можно вызвать в нем напряжения.

Методы решения температурных задач теории упругости не отличаются от методов решения статических задач, так как изменения, как мы видим, вносятся только в свободные члены уравнений.

7. Постановка динамических задач линейной теории упругости

Вдинамических задачах компоненты перемещения, деформаций

инапряжений представляют собой функции не только координат

x, y , z , но и времени t .

107

Получение уравнений динамики упругого тела особого затруднения не представляет. Эти уравнения могут быть получены сразу из уравнений статики на основании принципа Даламбера: для этого достаточно переписать уравнения статики, добавив к объемным силам силы инерции.

Компоненты силы инерции, приложенной к элементу объема dV , имеющему массу d m = ρdV , где ρ – плотность материала,

отнесенные к единице объема, имеют вид:

где ∂2u / ∂t 2 , . . . – компоненты ускорения точки (элементарного объема).

Присоединяя силы инерции к объемной силе и внося их в уравнения равновесия, получаем:

Уравнения физического закона, очевидно, остаются без изменения, так как объемные силы в них не фигурируют. То же самое можно сказать и об уравнениях Коши, и о граничных условиях в напряжениях.

При решении динамических задач теории упругости удобнее пользоваться уравнениями в перемещениях, процедура получения которых остается прежней. Будем иметь:

108

Динамические задачи можно ставить совершенно аналогично тем основным граничным задачам, которые были сформулированы для статического нагружения. Существенным отличием динамических задач будет то, что к граничным условиям мы еще должны, присоединить так называемые «начальные условия», определяющие значения перемещений и скоростей смещений точек тела в «начальный» момент времени t0 .

Например, первая основная граничная задача должна быть сформулирована следующим образом:

определяющие начальные условия.

Совершенно аналогично формулируются вторая и третья основные граничные задачи.

Методы решения динамических задач линейной теории упругости существенно отличаются от методов решения статических (температурных) задач, поскольку силы инерции, присоединяемые к объемным силам, заранее не известны.

109