С математической точки зрения построенное доказательство базируется на линейности исходной системы уравнений и, соответственно, возможности вычитать (складывать) уравнения. С физической точки зрения эта процедура может привести к многозначности решения. В качестве примера можно рассмотреть задачу устойчивости (задачу Эйлера), когда при действии каждой из сил p1 < pкр

и p 2 < pкр имеем простое сжатие, а при действии их суммы p1 + p2 > pкр – потерю устойчивости.

Приведенное доказательство единственности решения задач теории упругости является неполным, так как здесь рассмотрена только статическая сторона вопроса. Общие доказательства единственности решения системы уравнений (5.1) и (5.2) можно найти в литературе.

5.1. Основные граничные задачи теории упругости

Поскольку любая задача теории упругости является граничной задачей, выделим следующие три типа граничных задач в зависимости от вида граничных условий.

1. Первая основная граничная задача:

найти упругое равновесие тела, если заданы внешние усилия, действующие на его поверхности.

По отношению к уравнениям (5.1) и (5.2) эта задача сводится к следующей: найти функции u , v , w, σx , σy , ..., τzx , удовлетворяю-

щие уравнениям (5.1) и (5.2) в области, занятой телом, и граничным условиям на поверхности тела:

X = f1(x , y , z ) , Y = f 2 (x , y , z ) , Z = f 3 (x , y , z ) .

2. Вторая основная граничная задача:

найти упругое равновесие тела, если заданы смещения точек его поверхности.

В отношении уравнений (5.1) и (5.2) эта задача сводится к нахождению такого их решения, которое удовлетворяет на поверхности тела следующим граничным условиям:

89