5. Уравнения и задачи упругого равновесия

Выпишем полную систему уравнений, вытекающих из трех законов деформирования сплошного твердого тела и определяющих решение задачи теории упругости.

А. Статические уравнения

1. Дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье):

2. Граничные условия в напряжениях:

X = σxl + τyx m + τzx n ,

Y = τxyl + σy m + τzy n ,

Z = τxz l + τyz m + σz n .

В. Геометрические уравнения

3. Связь между перемещениями и деформациями (уравнения Коши):

85

4. Уравнения совместности (неразрывности) деформаций (уравнения Сен-Венана):

Напомним, что все приведенные уравнения получены в предположении малых деформаций. Это специально оговорено при получении уравнений Коши и линейного физического закона. Дифференциальные уравнения равновесия записаны для недеформированного элемента тела и, очевидно, могут считаться справедливыми только лишь в случае малых деформаций.

Рассматривая характеристики деформированного тела (перемещения, деформации и напряжения), в качестве независимых

86

можно выделить перемещения и напряжения, ибо деформации непосредственно связаны с перемещениями зависимостями Коши.

На этом основании можем систему основных уравнений привести к такому виду:

Девять уравнений (5.1) и (5.2) содержат девять неизвестных функций u , v , w, σx , σy , ..., τzx . Для того, чтобы назвать систему

уравнений (5.1) и (5.2) полной, мы должны убедиться, что эта система определяет упругое равновесие тела, если заданы внешние усилия и объемные силы.

Упругое равновесие тела считается известным, если известны компоненты напряжений, перемещений и деформаций в каждой его точке.

Для того, чтобы доказать, что имеющаяся система уравнений определяет упругое равновесие тела, нам нужно доказать, что эта система вообще имеет решение, т.е. что решение существует, и что оно единственное.

Существование решения доказано в настоящее время с полной математической строгостью при достаточно общих условиях, одна-

87

ко доказательство представляет большие трудности и требует применения самых сложных средств математического анализа. Если же рассматривать вопрос существования решения задач теории упругости с физической точки зрения, то он не представляет особого значения, так как очевидно, что любое сплошное тело, определенным образом нагруженное и закрепленное, должно иметь хотя бы одно положение равновесия (при условии, конечно, что возникающие в нем деформации не нарушают его сплошности). Поэтому сомнение в существовании решения уравнений теории упругости, по существу, означает сомнение в правильности этих уравнений в смысле соответствия их рассматриваемой физической задаче. Однако те рассуждения, с помощью которых основные уравнения были получены, опираются на вполне достоверные физические принципы, ввиду чего полученные уравнения полностью соответствуют рассматриваемой проблеме и, следовательно, не могут приводить к абсурдным результатам. Они обязаны давать решение любой конкретной задачи, имеющей реальный смысл и правильно поставленной (в смысле соответствия ее постановки исходным допущениям). Поэтому примем факт существования решения без доказательства и докажем, что существующее решение является единственным.

удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям.

Почленным вычитанием соответствующих слагаемых упомянутых уравнений можем получить новую систему уравнений, в которую в качестве неизвестных входят разности напряжений ( σ′ij −σ′ij′ )

как некоторая новая система напряжений.

Однако, как показывают эти уравнения, новая система напряжений существует при отсутствии поверхностных и объемных сил, и поэтому она на основании гипотезы о естественном состоянии тела должна быть равна нулю, а в этом случае

σ′ij = σ′ij′ .

88