Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

Полагаем, что время обслуживания клиентов имеет усеченное нор-

мальное распределение N a,ζ , а = 2 мин, ζ 0,5 мин (рис. 4.8).

111

На рис. 4.9 изображена гистограмма времени ожидания для 900

клиентов при наличии 1 канала связи. Получены следующие ре-

зультаты:

507 (56,3%) клиентов имеют время ожидания не более 1 мин;

393 (43,7%) – более 1 мин;

45 (5%) – более 6 мин.

На рис. 4.10 изображена гистограмма времени ожидания для 900

клиентов при наличии двух каналов связи. Здесь получены такие результаты:

882 клиента (98%) ожидают не более 1 мин;

18 (2%) – более 1 мин.

112

4.5. Трудоемкость метода Монте-Карло, использование

неслучайных чисел

Пусть для расчета величины m имеется случайная величина ,

для которой Mξ m и Dξ . Выбрав N независимых значений

ξ1,...,ξ N , берем оценку

В главе 3 было изложено, что точность оценки (4.2) зависит от

дисперсии Dξ . Формула (4.2) не определяет алгоритма расчета,

существует много случайных величин, имеющих заданное матема-

тическое ожидание m и конечную дисперсию.

Возьмем некоторый метод моделирования случайной величины

Формулы (4.2), (4.3) определяют алгоритм Монте-Карло для вы-

числения m.

Пусть t – время расчета одного по формуле (4.3). Полное вре-

мя расчета оценки (4.2) равно T Nt .

Ошибка оценки (4.2) определяется величиной

Формула (4.4) показывает, что если полное время расчета T фикси-

ровано, то погрешность вычисления зависит от величины tDξ , ко-

113

При вычислении (4.5) методом Монте-Карло скорость прибли-

жения относительно количества испытании имеет порядок 1 N .

Существуют «квазислучайные» точки, где скорость сходимости порядка 1 N . Этим условиям удовлетворяют ЛПη -последова-

тельности. Мы не останавливаемся на изложении этого материала,

свойства, формулы и программы для расчета точек ЛПη -

последовательностей можно найти в книге [26].

115

…Теория ошибок была разработана Гауссом

восновном для нужд в астрономии. И можно считать исторической случайностью, если угодно,

что ошибки измерений оказались достаточно малы,

так что линейная аппроксимация оказалась приемлемой и Гаусс развил линейную,

а не собственно угловую теорию ошибок.

К. Мардиа

Глава 5. Специализированный метод Монте-Карло – статистическое моделирование ориентаций на группе вращений SO(3), подчиняющихся нормальному закону распределения

Теория вероятностей, математическая статистика, имеющие особенности на алгебраических структурах, отличаются от извест-

ных положений в евклидовом пространстве [12].

Для того чтобы иметь некоторое представление о проблемах,

возникающих при переходе из евклидова пространства на группы,

рассмотрим вопрос об определении нормального распределения на окружности SO(2) [18].

Наиболее известны два нормальных распределения на SO(2):

намотанное нормальное распределение с плотностью распределе-

ния θ π;π

и распределение Мизеса с плотностью распределения

116

На рис. 5.1 и 5.2 изображены распределения (5.1) и (5.2) соответст-

венно.

Намотанное нормальное распределение (5.1) удовлетворяет цен-

тральной предельной теореме на окружности, безгранично делимо,

свертка двух распределений данного вида приводит к намотанному распределению. Определение броуновского движения также при-

водит к распределению (5.1).

Распределение Мизеса аналогично нормальному распределению на R1 определяется двумя параметрами: и k – аналогами матема-

тического ожидания и дисперсии.

Далее распределение Мизеса так же, как нормальное распреде-

ление на прямой, характеризуется наиболее правдоподобной оцен-

117

кой для параметра сдвига и свойством максимизировать энтропию при заданных круговом среднем направлении и дисперсии.

На самом деле эти два распределения хорошо аппроксимируют друг друга. Поэтому выбор любого из них в качестве модели – в

значительной степени дело удобства.

5.1. Определение нормального распределения на группе

SO(3)

Группа вращений трехмерного евклидова пространства SO(3) –

компактная, некоммутативная группа [11], элементами которой являются ортогональные матрицы 3-го порядка с определи-

телем +1.

Каждая такая матрица может быть параметризована многими способами [7]. Рассмотрим параметризацию углами Эйлера. Будем выполнять вращения в следующем порядке:

1)поворот на угол ψ ( 0 ψ 2π ) вокруг оси OZ исходной

системы K;

2)поворот на угол θ ( 0 θ π ) вокруг оси OX системы K ,

полученной из исходной после первого поворота;

3) поворот на угол θ ( 0 θ 2π ) вокруг оси OZ системы

K , полученной из исходной после двух поворотов.

Таким образом, любой элемент g SO(3) представляется в виде g gz θ gx θ gz ψ g θ,θ,ψ gij , i, j 1,2,3, (5.3)

где

g11 cosθcos ψ sin θsin ψcosθ ; 118

g12 cosθsin ψ sin θcos ψcosθ ; g13 sin θsin θ ;

g21 sin θcos ψ cosθsin ψcosθ ; g22 sin θsin ψ cosθcosψcosθ ; g23 cosθsin θ ;

g31 sin ψsin θ ; g32 cos ψsin θ ; g33 cosθ .

Есть другие варианты углов Эйлера (всего шесть). На группе

SO(3) существует инвариантная мера

dg 1 sin θdθdθdψ

8π2

и полная система попарно неэквивалентных унитарных представ-

рованный базис на SO(3). Для любой интегрируемой по модулю в квадрате функции

f g 2 dg

SO(3)

справедливо разложение в ряд Фурье:

l 0 m,n l

119

где

tmnl g exp imθ inψ Pmnl cosθ ,

dl n

dxl n 1 x l m 1 x l m

полиномы Якоби.

Существуют различные подходы к определению нормального распределения (НР) на группе SO(3) [23]. Здесь развивается опре-

деление НР на группе SO(m), m 1 согласно [7, 34], удовлетво-

ряющее центральной предельной теореме.

Определение 5.1. Распределение вероятностей на SO(3) нор-

мально, если безгранично делимо, не является идемпотентной мерой и может быть представлено в виде

инфинитезимальные операторы представлений, отвечающие одно-