Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

с плотностью p1 Q . Имеем

Mη B 1 α f Q p1 Q dQ I f ,

G2

Dη 1 α 2 f 2 Q p1 Q dQ I f 2

1 α f 2 Q p Q dQ I f 2 1 α D f .

G2

Оценим точность вычислений интегралов при использовании

свойства 3.

Пусть

I f f Q,Q p Q,Q dQdQ ,

G G

где Q G , Q G .

Обозначим

p Q p Q,Q dQ ,

G

f Q p Q f Q,Q p Q,Q dQ .

G

Очевидно, выполнено

I f f Q p Q dQ .

G

Имеем

91

D f D f f 2 Q,Q p Q,Q dQdQ f 2 Q p Q dQ

G

условная дисперсия по Q при фиксированном Q .

Способы 4 и 5 уменьшения дисперсии при вычислении интегра-

лов продемонстрируем на примерах в разделе 3.3.

3.3. Численные примеры

Пример 3.1. Вычислить методом Монте-Карло интеграл

Решение получено Ю.А.Санковым.

Для сравнения приближенного значения с точным вычислим

(сделана замена переменных x z2 )

92

Первый способ. Пусть плотность распределения случайной ве-

личины p x 1, x 0,1 . Формула для разыгрывания x γ , где

равномерно распределена на (0,1).

Имеем расчетные формулы

e ξ

η ,

ξ

При N 10 имеем численные значения

I 1,303 , Dη 0,893.

Второй способ – способ включения особенности подынтеграль-

ной функции в плотность.

Пусть плотность имеет вид

Формулы для разыгрывания случайной величины получаем мето-

дом обратных функций:

Отсюда получаем выражения

При N 10 получены численные результаты

I 1,548 , D 0,373 .

Третий способ – симметризация подынтегральной функции.

Для функции f x имеем

Пользуясь значениями случайной величины, равномерно распреде-

ленной на (0,1), имеем расчетные формулы

При N 10 имеем значения

I1, 282 , D 0,423 .

Вданном примере видим, что наилучший результат дает способ 2.

94

ρ P Q – расстояние между точками P и Q .

95

Пусть Р, Q – независимые случайные точки, равномерно рас-

пределенные в шаре единичного радиуса, т.е. плотность распреде-

ления

0 θ 2π , сферические координаты точки Р.

Имеем

dP r2drdμdθ .

В силу симметрии задачи можно выбрать точку Р на оси OZ по за-

кону распределения

rp

3 r2dr γ1 , rp 3γ1 ,

0

γ1 – равномерно распределенные числа в (0,1).

96

Точку Q можно выбрать в плоскости OXZ ( θ 0 ) по законам

распределения (рис. 3.3)

т.е.

μQ 2γ2 1 , rQ 3γ3 ,

γ2 , γ3 – независимые равномерно распределенные числа в (0,1).

Отсюда находим

ρP Q rP2 rQ2 2rPrQμQ .

Врезультате получаем простую формулу для вычисления исходно-

го интеграла

N i 1

где вместо шести переменных участвуют расчетные формулы для разыгрывания трех переменных.

Например, имеем числовые значения для функций [8]

f ρ 1 , m 1, 2 .

ρm

Точные значения

I1 f 1532 , I2 f 4 .

Приближенные значения при N 10

I1 f 1,78 , DI1 f 0,081,

97

3)указать точность вычислений п. 2;

4)сделать выводы, какой из двух методов является лучшим и почему; можно ли улучшить результаты?

99

Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

И.М. Соболь

Глава 4. Применение методов Монте-Карло в физике

иэкономике

4.1.Расчет системы массового обслуживания

(общая схема)

Постановка задачи [14, 24]

Система состоит из n линий (или каналов или пунктов обслужи-

вания), каждый из которых может обслужить потребителей. В сис-

тему поступают заявки, причем моменты их поступления случай-

ны. Каждая заявка поступает на линию 1. Если в момент поступле-

ния k-й заявки ( Tk ) эта линия свободна, то она приступает к об-

служиванию заявки, что продолжается в течение времени tз ( tз –

время занятости линии). Если в момент Tk линия 1 занята, то заяв-

ка передается на линию 2 и т.д. Наконец, если все n линий заняты,

то система выдает отказ.

Требуется определить, сколько (в среднем) заявок обслужит система за время Т и сколько отказов она дает?

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени между двумя последо-

вательными заявками есть случайная величина, распределенная в

0, с плотностью

p x ae ax

100