а) y = x2 - 7, y = -8x2 + 2, z = 3 - 12y2 + 5x2, z = -2 - 12y2 + 5x2;

Ответ: 60.

б) z =

49 − x2

− y 2 , z = 3, x2 + y2 = 33

(внутри цилиндра).

Ответ:87π.

Вариант 21

Задача 1 – Изменить порядок интегрирования в интеграле:

ex

1

y

e

1

1

∫dy∫ fdx + ∫dy ∫ fdx.

Ответ: ∫dx ∫ fdy .

0

0

1

ln y

0

x

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(44xy +16x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = x2, y = - 3 x ;

Ответ: -5.

D

б) ∫∫y cos xydxdy; D : y = π, y = 3π, x =

1

, x = 1.

Ответ: 0.

2

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y =

x , y =

1

, x =16;

Ответ: 42 − 4 ln 2 .

x

б) y2 - 2y + x2 = 0, y2 - 4y + x2 = 0, y = x, x = 0.

Ответ:

3π

+

3

.

4

2

а) ∫∫∫ y 2 ch(xy)dxdydz; V : x = 0, y = −1, y = x,

Ответ: ch1 – 1.

V

z = 0, z = 2.

б) ∫∫∫x2 dxdydz ; V : z = 10(x + 3y), x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ: 1.

V

1

x 2

2

2−x2

1

2−y2

∫dx ∫ fdy + ∫dx

∫ fdy.

Ответ: ∫dy

∫ fdx .

0

0

1

0

0

y

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = 3 x , y = -x2;

Ответ: 5.

D

б) ∫∫y2 e−

xy

1

dxdy; D : x = 0, y = 1, y = x/2.

Ответ:

.

2

D

e

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y =

2

x

, y = 7e , y = 2, y = 7;

Ответ: 5.

x

б) x2 - 2x + y2 = 0, x2 - 4x + y2 = 0, y = 0, y = 3x .

Ответ: π+

3 3

.

4

а) y = 3x2 + 4, y = 7, z = 5 − 2x2 +3y 2 , z = 1− 2x2 +3y 2 ;

Ответ: 16.

б) z = 9 x2 + y 2 , z = 22 - x2 - y2.

Ответ: 32 π.

π

π

2

arccos y

4

sin x

2

cos x

2

∫dx ∫ fdy + ∫dx ∫ fdy.

Ответ:

∫ dy

∫ fdx .

0

0

π

0

0

arcsin y

4

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а)

∫∫(xy −4x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = x3, y = −

x ;

Ответ: 0.

D

б)

∫∫y sin 2xydxdy; D : y =

π, y =

3π

, x =

1

, x = 2.

Ответ: -1.

2

D

2

2

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) x = 27 - y2, x = -6y;

Ответ: 288.

б) y2 - 6y + x2 = 0, y2 - 8y + x2 = 0, y = x, x = 0 .

Ответ:

7π

+

7

.

2

4

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

2

x

7x2

D : x = 2, y = 0, y

=

(y ≥ 0); μ

=

+8y .

Ответ: 12.

2

2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а)

∫∫∫x

2 sin(

π xy)dxdydz; V

: x = 2, y = x, y = 0,

Ответ: 4.

V

2

z = 0, z = π.

б)

∫∫∫63(1 + 2

y )dxdydz ; V : y = x, y = 0, x = 1, z = xy , z = 0.

Ответ: 32.

V

Задача 6 – Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхно-

стями:

а) x = 5y2 - 2, x = -4y2 + 7, z = 4 − 2x2 +3y 2 ,

z = −1−

2x2

+3y 2 ;

Ответ: 60.

б) z =

16 − x2

− y 2 , z =

x2

+ y 2

.

Ответ: 32 π.

15

−1

0

0

0

0

x

∫

dy

∫ fdx + ∫dy∫ fdx.

Ответ: ∫dx

∫ fdy .

−

2

− 2−y 2

−1

y

−1 −

2−x2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = x , y = -x3;

Ответ: 5.

D

б) ∫∫y 2 cos xydxdy; D : x = 0, y = π, y = 2x.

Ответ: 1.

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) ) x = 72 − y 2 , 6x = y2, y = 0 (y ≥ 0);

Ответ: 9π + 6.

б) x2 - 4x + y2 = 0, x2 - 8x + y2 = 0, y = 0, y = 3x .

Ответ: 4π +3 3 .

а x = -2y2 + 5, x = 3, z = 5 − x2 + 25y 2

, z = 2 − x2 +25y 2 ;

Ответ: 8.

б) z = 36 − x2 − y 2 , z = 2, x2 + y2 = 27

(внутри цилиндра).

Ответ: 72 π.

1

x3

2

2−x

1

2−y

∫dx

∫ fdy + ∫dx

∫

fdy.

Ответ: ∫dy ∫ fdx .

0

0

1

0

0

3 y

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а)

∫∫(6x2 y 2 +

25

x4 y 4 )dxdy; D : x = 1, y = x2, y = − x ;

Ответ: 1.

D

3

б) ∫∫6ye

xy

dxdy; D : y = ln2, y = ln3, x = 3, x = 6.

Ответ: 27.

3

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а)

y =

6 − x2 , y =

6 −

6 − x2

;

Ответ: 4π −3 3 .

б)

7y2 - 4y + x2 = 0, y2 - 8y + x2 = 0, y = x, x = 0.

Ответ: 3π+6.

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

D : x = 1, y = 0, y2 = 4x (y ≥ 0); μ = 6x + 3y2.

Ответ: 8.

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а)

∫∫∫x2 sin(πxy)dxdydz; V : x =1, y = 2x, y = 0,

Ответ: 2.

V

z = 0, z = 4π.

б)

∫∫∫

dxdydz

; V :

x

+

y

+

z

=1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ: 5.

x

y

z

V

(1

+

+

+

)

5

6

4

16

6

4

16

Задача 6 – Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхно-

стями:

а) y = -3x2 +5, y = 2, z = 3 +

5x2

+ y 2

, z = −1+ 5x2 + y 2 ;

Ответ: 16.

б) z =

4

− x

2

− y

2

, z = x

2

2

19

+ y .

Ответ:

π.

9

162