Матан. Кратные интегралы

1

1

e

1

1

e y

∫dx ∫

fdy + ∫dx ∫ fdy.

Ответ: ∫dy

∫fdx .

0

1−x2

1

ln x

0

1−y

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(8xy +9x2 y 2 )dxdy; D : x = 1, y = 3

x , y = -x3;

Ответ: 2.

D

б) ∫∫12y sin 2xydxdy; D : y = π , y =

π , x = 2, x = 3.

Ответ: -1.

D

4

2

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y =

24 − x2 , 2

3y = x2, x = 0 (x ≥ 0);

Ответ: 3π+2 .

б) y2 - 2y + x2 = 0,

y2 - 4y + x2 = 0, y =

3 x, x = 0.

Ответ:

π +

3

3

.

4

2

а) ∫∫∫ y 2 ch(2xy)dxdydz; V : x = 0, y =1, y = x,

Ответ: ch2 – 1.

V

z = 0, z =8.

б) ∫∫∫(4 +8z 3 )dxdydz; V : y = x, y = 0, x = 1, z = xy , z = 0.

Ответ: 1.

V

стями:

а) y = -5x2 + 3, y = -2, z = 2x2 - 3y - 6y2 - 1, z = 2x2 - 3y - 6y2 + 2;

Ответ: 20.

б) z = 9 − x2 − y 2 , z =

x2 + y 2

.

Ответ: 16π.

80

1

3 y

2

2−y

1

2−x

∫dy ∫

fdx + ∫dy ∫ fdx.

Ответ: ∫dx

∫fdy .

0

0

1

0

0

x3

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(24xy +18x2 y 2 )dxdy; D : x = 1, y = x3, y = - 3 x ;

Ответ: -1.

D

б) ∫∫y 2 cos xydxdy; D : x = 0, y = π, y = x.

Ответ: 1.

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y = sinx, y = cosx, x = 0 (x ≥ 0);

Ответ: 2 −1.

б) x2 - 2x + y2 = 0, x2 - 6x + y2 = 0, y =

x

, y = 3x .

Ответ:

4π

.

3

3

б) ∫∫∫(1 + 2x3 )dxdydz; V : y = 36x, y = 0, x = 1, z = xy , z = 0.

Ответ: 96.

а) y = x2 - 5, y = -x2 + 3, z = 4 + 5x2 +8y 2 , z = 1 + 5x2 +8y 2 ;

Ответ: 64.

б) z = 81− x2 − y 2 , z = 5, x2 + y2 = 45 (внутри цилиндра).

Ответ:117π.

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y = 20 - x2, y = -8x.;

Ответ: 288.

б) y2 - 4y + x2 = 0, y2 - 6y + x2 = 0, y =

3x , x = 0.

Ответ:

π

+

3

.

5

6

4

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

2

x

2

D : x = 2, y = 0, y =

(y ≥

0); μ = 2x + 3y .

Ответ: 4.

2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫ y 2 e

2 dxdydz; V : x = 0, y = 2, y = 2x,

Ответ: 4е – 8.

xy

V

z = 0, z = −1.

б) ∫∫∫21xzdxdydz; V : y = x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

Ответ: 64.

V

а) x = 3y2 - 5, x = -2, z = 2 -

x2 +16 y 2 , z = 8 - x2 +16 y 2 ;

Ответ: 24.

б) z = 1− x2 − y 2 ,

3z

= x2

+ y 2 .

Ответ:

19

π.

2

48

−∫1dx

∫0

fdy + ∫0

dx ∫0

0

y3

fdy.

Ответ: ∫dy

∫fdx .

−2

−(2+x)

−1

3 x

−1 −2−y

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(8xy +18x2 y 2 )dxdy; D : x = 1, y = 3 x , y = -x2;

Ответ: 3.

D

б) ∫∫4 y 2 sin 2xydxdy; D : x = 0, y =

2π, y = 2x.

Ответ: 2π.

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y =

18 − x2

, y = 3

2 − 18 − x2

;

Ответ: 12π−9 3 .

б) x2 - 2x + y2 = 0, x2 - 8x + y2 = 0, y =

x

, y = 3x .

Ответ:

5π

.

3

2

z = 16 − x2 − y 2 −1;

Ответ: 20.

б) z = 6 x2 + y 2 , z = 16 - x2 - y2.

Ответ: 2 4π.

∫1

y

dy ∫1

1

ex

dy ∫ fdx + ∫e

fdx.

Ответ: ∫dx ∫fdy.

0

0

1

ln y

0

x 2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫

(

4

xy +

9

x2 y 2 )dxdy; D : x = 1, y = x3, y = − x ;

Ответ: 0.

D

5

11

б) ∫∫

2y cos 2xydxdy; D : y = π , y =

π , x = 1, x = 2.

Ответ: -1.

D

4

2

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y = 32 - x2, y = -4x;

Ответ: 288.

б) y2 - 2y + x2 = 0, y2 - 6y + x2 = 0, y =

x

, x = 0.

Ответ:

π

+

3

.

8

3

3

4

1

2

2

D : x =

, y = 0, y

= 8x (y ≥ 0); μ = 7x + 3y .

Ответ: 3.

2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫y 2 cos(πxy )dxdydz;

V : x = 0, y = −1, y = x,

Ответ: 4.

V

2

z = 0, z = 2π2 .

б) ∫∫∫(x2

+3y 2 )dxdydz; V : z = 10x, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ: 1.

V

Задача 6 – Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхно-

стями:

а) y = 2x2 - 1, y = 1, z = x2 - 5y2 - 3, z = x2 - 5y2 – 6;

Ответ: 8.

б) z =

36 − x2 − y 2 , z =

x2

+ y 2

.

Ответ:126π.

63

1

y3

2

2−y

1

2−x

∫dy ∫

fdx + ∫dy ∫ fdx.

Ответ: ∫dx

∫fdy .

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(6xy +24x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y =

x , y = -x2;

Ответ: 1.

D

б) ∫∫y 2 cos 2xydxdy; D : x = 0, y =

π

, y =

x

.

Ответ: 0.

2

2

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y = 3 x , y =

3

, x = 4;

Ответ: 14 −3ln 4.

x

б) x2 - 2x + y2 = 0, x2 - 6x + y2 = 0, y = 0, y =

x

.

Ответ:

π

+

3

.

4

3

3

2

μ =

x +3y

.

Ответ: 12.

x2 + y2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

1

1

а) ∫∫∫2x2 zsh(2xyz)dxdydz; V : x = 2, y =

, z =

,

Ответ: 2ch1 – 3.

2

2

V

x = 0, y = 0, z = 0.

б) ∫∫∫(9 +18z)dxdydz; V : y = 4x, y = 0, x = 1, z =

xy , z = 0.

Ответ: 34.

V

Задача 6 – Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхно-

стями:

а) x = 7y2 - 6, x = -2y2 + 3, z = 3 + 5x2 - 8y2, z = -2 + 5x2 - 8y2;

Ответ: 60.

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

2

7x2

y

D : x = 2, y

= 2x, y = 0 (y ≥ 0); μ =

+

.

Ответ: 9.

4

2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫x2 sh(2xy)dxdydz; V : x = −1, y = x, y = 0,

Ответ: sh2 – 2.

V

z = 0, z =8.

б) ∫∫∫3y 2 dxdydz; V : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

Ответ: 128.

V

а) y = 1 - 2x2, y = -1, z = x2 + 2y + y2 - 2, z = x2 + 2y + y2 + 1;

Ответ: 8.

б) z = 9 − x2 − y 2 , z =

x2 + y 2

.

От-

35

вет:15π.

−∫1dy

∫0

fdx + ∫0

dy ∫0

0

x3

fdx.

Ответ: ∫dx ∫fdy .

−2

−(2+y )

−1

3 y

−1

−2−x

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = x3, y = - 3

x ;

Ответ: -1.

D

25

2

5

а) y =

- x , y = x -

;

Ответ: 36.

4

2

б) x2 - 2x + y2 = 0, x2 - 6x + y2 = 0, y = 0, y = x..

Ответ: 2π+4.

Задача 4

– Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

D : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

μ =

x +2y

.

Ответ: 3.

x2 + y2

Задача 5

– Вычислить тройные интегралы по объему V: