Типовой расчёт Производная и дифференциал функции двух переменных. Исследование функции двух переменных.

Образец решения типового расчёта.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: . Уравнение задаёт на координатной плоскости параболу , вершина которой находится в точке , ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. .

Решение. .

2.2. .

Решение. .

2.3. .

Решение. .

Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .

Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:

.

Теперь находим производные второго порядка по переменным и :

.

Находим смешанные производные:

.

Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Решение. Производная функции по направлению вектора равна:

, где направляющие косинусы вектора .

Находим частные производные данной функции:

.

Находим значения частных производных в точке :

.

Находим направляющие косинусы вектора :

.

Окончательно получим:

.

Задание 5. Найти градиент функции в точке.

Решение. Градиент функции двух переменных равен .

Найдём частные производные:

.

Найдём значения частных производных в точке :

.

Тогда градиент равен .

Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Найдём частные производные данной функции:

.

Производные первого порядка непрерывны на всей области определения функции. Для того, чтобы найти критические (стационарные) точки функции, решим систему уравнений:

Получили одну стационарную критическую точку . Для того, чтобы выяснить, является ли она точкой экстремума, найдём производные второго порядка.

.

Найдём дискриминант: где .

В данном случае, . В данной точке экстремума нет.

Задание 7. Найти экстремум функции при условии .

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Выразим из уравнения связи переменную : . Далее рассмотрим оба возможных случая.

1) . Подставляя это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной . Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение при .

. Очевидно, при любых значениях переменной , и поэтому наибольшее и наименьшее значение достигается в концах отрезка.

.

2) . Подставляя это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной . Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение при .

. Получили две стационарные критические точки. Найдём значения функции в этих точках и на концах отрезка.

.

Таким образом, .

Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

Решение. Прежде всего, заметим, что данная функция непрерывна в рассматриваемой области. Найдём критические (стационарные) точки функции, принадлежащие указанной области. Частные производные первого порядка непрерывны в данной области. Составим систему уравнений:

Получили одну стационарную критическую точку . Найдём значение функции в этой точке: . Далее, последовательно найдём значения функции на всех границах области.

1) . Функция принимает вид . Тогда .

2) . Функция принимает вид . Тогда .

3) . Функция принимает вид . Тогда .

4) . Функция принимает вид . Тогда .

Получили:

Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения

Решение. Воспользуемся приближённым равенством .

Отсюда .

Рассмотрим функцию . Найдём полный дифференциал этой функции:

.

Примем . Тогда получим:

. (Вычисление с помощью микрокалькулятора даёт результат 7,916).

Вариант № 1.

Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .

Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Задание 5. Найти градиент функции в точке.

Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.

Задание 7. Найти экстремум функции при условии .

Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .