- •1. Определение 2-ого и 3-его порядка. Решение систем 2х и 3х линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
- •2. Алгебраические дополнения и миноры. Основные свойства определителей. Определители n-го порядка.
- •3. Различные способы вычисления определителей 3-го порядка
- •4.Правило Крамера (вывод формул…)
- •5.Матрицы. Действие над ними, обратная матрица. Ранг матрицы.
- •6. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение с помощью обратной матрицы.
- •7.Исследование систем m линейных уравнений c n неизвестными. Метод Гаусса.
- •8. Система линейных однородны уравнений. Теорема о ненулевых решениях таких систем (доказать).
- •9.Система координат на прямой, плоскости и в пространстве. Уравнение линии на плоскости.
- •10.Простейшие задачи аналитической геометрии. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками (вывод формул).
- •11.Векторы. Направляюшие косинусы. Проекция вектора на вектор. Длина вектора. Коллинеарность, ортогональность, компланарность векторов.
- •Проекция вектора на вектор.
- •12.Линейные операции над векторами. Сложение, вычитание и умножение вектора на число.
- •13.Вывод формулы для вычисления скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Свойства.
- •14.Векторное произведение. Координаты вектора векторного произведения. Его свойства. Условия колинеарности.
- •15.Приложение векторного произведения: площадь треугольника в пространстве и на плоскости через координаты его вершин.
- •16.Смешанное произведение. Вывод формулы объема параллелепипеда.
- •17. Cвойства смешенного произведения. Вывод формулы объема пирамиды и ее высоты. Условия принадлежности 4 точек к одной плоскости . Условия комплонарности 3 векторов.
- •18. Различные уравнения прямой на плоскости(наклонной,через две точки, общее, каноническое,параметрическое).
- •21.Различные уравнения плоскости (общее, уравнение плоскости проходящей через 3 точки уравнение плоскости в отрезках).
- •23. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
- •24. Различные уравнения прямой в пространстве. Переход от общих уравнений к каноническим и обратно.
- •25. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •26. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения между прямой и плоскостью.
- •27. Расстояние от точки до прямой в пространстве (вывод формулы). Расстояние между параллельными прямыми в пространстве.
- •28.Определение эллипса и вывод канонического уравнения.
- •29. Определение гиперболы и вывод канонического уравнения.
- •30.Определение параболы и вывод канонического уравнения.
- •31.Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
- •32.Эллипсоиды. Эллипсоид вращения. Сфера.
- •34. Параболоиды и канонические поверхности.
- •35.Цилиндрической называется поверхность,
- •36. Ко́мпле́ксные чи́сла
- •1. 2.3..
- •1. . 2.. 3..
12.Линейные операции над векторами. Сложение, вычитание и умножение вектора на число.
Сложение векторов
В алгебраическом представлении при сложении векторов с = a + b проекция результирующего вектора на оси координат является суммой соответствующих проекций складываемых векторов с учётом их знака:
сx = ax + bx ; сy = ay + by ; сz = az + bz .
Если точка привязки не важна, а важна лишь величина (длина и направление) результирующего вектора, то сложение векторов можно считать коммутативной операцией (от перемены мест слагаемых сумма не меняется). В противном случае точка привязки результирующего вектора определяется исходя из физического смысла производимой операции (как правило, в физике точки привязки всех складываемых векторов и суммарного вектора совпадают, — то есть и все слагаемые, и их сумма применимы к одной и той же точке пространства или материальной точке).
Вычитание векторов
Вычитание векторов с = a – b можно представить как 2.narod.ru/info/vectors.htm"сложение уменьшаемого вектора с вектором, противоположным вычитаемому по направлению и равным ему по величине. Таким образом, в агебраическом представлении проекции вычитаемого вектора на оси координат меняют свой знак:
сx = ax – bx ; сy = ay – by ; сz = az – bz .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число b = k · a в алгебраическом виде достаточно все его проекции умножить на это число:
bx = k · ax ; by = k · ay ; bz = k · az .
В строго геометрическом смысле при умножении на число начало вектора остаётся на месте, а «удлиняется» его конец. Однако на физических иллюстрациях часто остаётся на месте точка конца вектора, скажем точка приложения силы, хотя в общем случае этот вопрос всегда определяется физическим смыслом решаемой задачи.
Операция умножения на число является коммутативной a · k = k · a (от перемены мест сомножителей результат не меняется). При положительном множителе результирующий вектор сонаправлен с исходным, при отрицательном направление меняется на строго противоположное. Поэтому результат умножения вектора на число всегда 2.narod.ru/info/vectors.htm"коллинеарен с исходным вектором, за исключением случая, когда множитель или исходный вектор являются нулевыми — тогда результатом будет 2.narod.ru/info/vectors.htm"нулевой вектор, говорить о направлении которого некорректно.
Операция умножения на число является дистрибутивной k · (a + b) = k · a + k · b (произведение суммы векторов на число равно сумме произведений слагаемых на это же число).
Скалярное произведение векторов
Результатом скалярного перемножения векторов является число, равное произведению их модулей, умноженному на косинус угла между ними.
Вычисление скалярного произведения
В алгебраической форме скалярное произведение d = a · b вычисляется как
d = ax · bx + ay · by + az · bz .
Свойства скалярного произведения
Коммутативность: a · b = b · a .
Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c .
Сочетательность (линейность) относительно скалярного множителя: k · (a · b) = (k · a) · b = a · (k · b) .
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его 2.narod.ru/info/vectors.htm"модуля: a · a = |a|2 (норма вектора).
Векторное произведение
.Вычисление векторного произведения
В алгебраической форме векторное произведение c = [a × b] в правой системе координат вычисляется как
сx = ay · bz – az · by ; сy = az · bx – ax · bz ; сz = ax · by – ay · bx .
В левой системе координат знаки слагаемых меняются на противоположные.
Свойства векторного произведения
Антикоммутативность: [a × b] = –[b × a] .
Дистрибутивность: [a × (b + c)] = [a × b] + [a × c] .
Сочетательность относительно скалярного множителя: k · [a × b] = [(k · a) × b] = [a × (k · b)] .
Смешанное произведение: a · [b × c] = [a × b] · c .
Векторный квадрат вектора всегда является 2.narod.ru/info/vectors.htm"нулевым вектором: [a × a] = 0 . Поэтому, когда говорят о «квадрате вектора» без уточнения типа перемножения, имеют в виду скалярный квадрат (квадрат модуля вектора).