35.Цилиндрической называется поверхность,

описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению (рис. 4.11). Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны осиИмеет вид

Особенность уравнения (4.48) состоит в том, что оно не содержит переменнойЕсяи уравнениеОпределяет некоторую поверхность, то ею является

Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной осиЕсли уравнениеОпределяет некоторую поверхность, то ею является цилиндрическая

Поверхность с образующей, параллельной осиПоверхность, образованная вращением линии

(4.49)

Вокруг оси(рис. 4.12), определяется уравнением

(4.50)

Поверхность, образованная вращением линииВокруг оси,

Имеет уравнение

Поверхность, образованная вращением линииВокруг оси

Ох, определяется уравнением

. Поверхностью вращения второго порядка называется поверхность, полученная вращением линии второго порядка вокруг ее оси.

Эллипсоидом вращения называется поверхность, полученная вращением эллипса вокруг одной из его осей. Уравнение эллипсоида вращения, полученного вращением эллипсаВокруг оси, имеет вид

Однополосным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Однополосный гиперболоид вращения, полученный вращением гиперболыВокруг осиИмеет уравнение

Двуполостным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. Двуполо-стный гиперболоид, полученный вращением гиперболы,

Вокруг оси, определяется уравнением

Параболоидом вращения'называется поверхность, полученная вращением параболы вокруг ее оси. Уравнение параболоида вращения, полученного вращением параболыВокруг осиИмеет вид

• Пример 4.23. Составить уравнение поверхности, полученной вращением линии.Вокруг оси

Данные уравнения определяют пару пересекающихся прямых в плоскостипроходящих через начало координат (являющихся пересечением плоскостейС плоскостью). Приведем эти уравнения к виду (4.49):

В соответствии с уравнением (4.50) получаем

Последнее уравнение является уравнением конуса вращения, получающегося при вращении указанных прямых вокруг оси

Эллиптический цилиндр. Уравнение

x2 a2   +   y2 b2   =  1      (a, b>0)

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является эллипсс полуосями a и b (рис. 1).

В частности, уравнение x2 + y2 = R2 в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Гиперболический цилиндр. Уравнение

x2 a2   −   y2 b2   =  1      ( a, b>0 )

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является гиперболас полуосями a и b (рис. 2).

Параболический цилиндр. Уравнение

y2 = 2px ( p>0 )

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является парабола (рис. 3).

Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Поверхность второго порядка задается в декартовых координатах уравнением второй степени Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Kz+L=0. За счет выбора специальной системы координат это уравнение преобразуется к простейшему (каноническому) виду. Цилиндрические поверхности: а)  – эллиптический цилиндр; б)  – гиперболический цилиндр; в)  – параболический цилиндр; г)  – сфера; д)  – эллипсоид; е)  – двуполостный гиперболоид; ж)  – однополостный гиперболоид; з)  – конус; и)  – эллиптический параболоид.