25. Взаимное расположение прямой и плоскости

 

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямыми в пространстве называют любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами .Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида и то косинус угла между ними можно найти по формуле:

).

Пример. Найти угол между прямыми и .

 

Решение. По условию  ,тогда

 отсюда

, ,.

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

 – условие параллельности прямых.

 

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

 – условие перпендикулярности прямых.

Пример. Найти уравнения прямой проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Поскольку искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой.

 

По условию ,

 – отсюда уравнение искомой прямой имеет вид: .

Угол между прямой, заданной каноническими уравнениями и плоскостью, определяемой общим уравнением

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть прямая задана каноническими уравнениями ,а плоскость общим уравнением . Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет  , а . Если угол между векторами и тупой, то он равен .

 

Следовательно .Поэтому в любом случае .Применив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

 

Пусть прямая задана каноническими уравнениями ,а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю –условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны –условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. По условию ,,тогда .

Из уравнения плоскости имеем, что нормальный вектор .Следовательно =Þ.

26. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью.

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.