Верификация
Верификацию данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения и теплопроводность равную нулю и используем граничные условия свободного скольжения на стенках. Построив теоретический график зависимости энергии волны от ее частоты, и сравнив его с полученным численно (Рис.8), легко увидеть, что на данном этапе метод даёт правильный результат.Рис.8. Графики зависимости энергии волны от её частоты в вязком теплопроводящем газе. wexp – расчетные значения, vel2(ws) – теоретическая кривая, FIT – кривая, полученная интерполяцией расчетных значенийНиже представлены теоретическая и аппроксимированная функции для данного случая, соответственно:
Среднеквадратичное отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими (Рис.9).
Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в вязком теплопроводящем газе. wexp – расчетные значения, vel2(ws) – теоретическая кривая, FIT – кривая, полученная интерполяцией расчетных значенийДалее представлены теоретическая и аппроксимируемая резонансные кривые для данного случая, соответственно:
Среднеквадратичное отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,78%.Как видно из Рис.8 и Рис.9 теоретическая и рассчитанная резонансные кривые совпадают, это говорит о правильности расчетов. Получим теперь численно зависимости коэффициента затухания звуковых волн в газе для двух случаев, имеющих теоретическое решение. Первый случай - это покоящийся цилиндр, заполненный вязким теплопроводящим газом. Трение о стенку ротора для рассматриваемого случая не учитываем. Ранее для этого случая была получена формула (1.24):считаем, что член со второй вязкостью
не внесёт существенной поправки:
, (2.12)Для наглядности преобразуем (2.9) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:
(2.13)На Рис.10 представлены теоретический и расчетный графики зависимости длины затухания волны от ее волнового числа в вязком теплопроводящем газе.
Рис.10. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе.
– экспериментальный график,
– теоретический графикВидно, что зависимость имеет степенной характер. Более того среднеквадратичное отклонение расчетной зависимости от теоретической оказывается даже меньше, чем для резонансной кривой и составляет 0,52%. Рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:
также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:
(2.14)
На Рис.11 представлены теоретический и расчетный графики для рассматриваемого случая.
Рис.11. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе.– экспериментальный график,
– теоретический график Эти графики также совпадают. А среднеквадратичное отклонение для этого случая составляет 0,56%.Предполагаем, что общий коэффициент затухания звука учитывает вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора. Формула (2.13) учитывает поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, а формула (2.14) учитывает поглощение за счёт трения о стенку. Найдем общий коэффициент затухания звука по формуле:
(2.15)
Произведем расчет, учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора.И сравним результат с теоретическим результатом, полученным по формуле (2.15).На Рис.12 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид.
Рис.12. Графики зависимости длины затухания
волны от её волнового числа построенные
в логарифмическом масштабе.
-
экспериментальный график учитывающий
вязкость, теплопроводность и трение на
внешней стенке,
-
теоретический график учитывающий
вязкость и теплопроводность,
-
теоретический график учитывающий трение
на внешней стенке,
- теоретическая зависимость рассчитанная
по формуле (2.15)
Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах kасимптотически стремятся к зависимости, учитывающей трение о стенку, а при больших волновых числахkучитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числахkосновную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа и его теплопроводность.
Расчёт
Теперь рассчитаем случай максимально приближенный к реальной центрифуге: вращающийся цилиндр со всеми диссипативными взаимодействиями (трением на внешней стенке, вязкостью и теплопроводностью).Для этого случая теоретических зависимостей нет, поэтому нам придётся полагаться на расчет и полученный ранее коэффициент затухания звука в центробежном поле сил. Зная зависимость коэффициента затухания звука от его частоты (1.24) и рассчитанный выше поправочный коэффициент на скорость вращения ротора (2.8), несложно получить зависимость длины затухания волны от её волнового числа для рассматриваемого случая:=
(2.16)с которой расчёт полностью согласуется.Формула (2.14) не учитывает трения на стенках цилиндра. На данный момент не существует теоретических моделей, учитывающих трение на стенках цилиндра для звуковых волн в сильном центробежном поле. Поэтому для этого случая построен численный график зависимости длины затухания звуковой волны от ее волнового числа.
Производя вычисления по формуле:
(2.17)
где- расчетная зависимость глубины проникновения волны от ее волнового числа с учетом силы трения,получаем зависимость глубины проникновения волны от ее волнового числа, учитывающую молекулярную вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора. Все зависимости приведены на Рис.13.
Рис.13. Графики зависимости глубины
проникновения волны от её волнового
числа построенные в логарифмическом
масштабе.
глубины проникновения учитывающая
вязкость, теплопроводность и трение на
внешней стенке рассчитанная
экспериментально,
-
теоретическая глубины проникновения
учитывающая вязкость и теплопроводность,
рассчитанная по формуле (2.16),
-
теоретическая глубины проникновения
учитывающая трение на внешней стенке,
теоретическая зависимость, рассчитанная
по формуле (2.17)
С помощью Рис.12 и Рис.13 можно сделать вывод о характере затухания звуковой волны в центробежном поле. При малых волновых числах kосновную роль в затухании играет процесс трения на стенках, и так же, как и без поля, с ростом увеличивается роль объемных процессов диссипации. Зависимости имеют идентичный вид, однако смещенный по оси примерно на два порядка. Это говорит о том, что центробежное поле сил заметно влияет на затухание звуковых волн.
Также проведён расчет зависимости длины пробега звуковой волны в вязком теплопроводящем газе от радиуса ротора для двух случаев: с трением и без. Результаты расчета представлены на Рис.14.
Рис.14. Графики зависимости длины затухания волны от радиуса ротора в вязком теплопроводящем газе для двух случаев:
- с трением,
- без трения
Из Рис.14 видно, что, рассматривая случай без трения о стенку, длина затухания волны растет прямо пропорционально радиусу ротора. Это понятно если провести аналогию с током, текущим по проводу: чем больше площадь сечения провода, тем больше его проводимость. Но если рассматривать случай с трением о стенку ротора, то зависимость имеет вид ассиметричного колокола. С пиком в области 2 см. Этот пик можно объяснить следующим образом. Сила трения о стенку ротора увеличивается пропорционально радиусу ротора. При значениях радиуса близких к нулю влияние силы трения незаметно. Начиная со значения радиуса равного примерно 0,5 см сила трения начинает воздействовать на волну, тем самым заставляя ее затухать. А так как сила увеличивается прямо пропорционально радиусу, то в какой-то момент возникает пик.