4.5 Обработка результатов цифровых измерений

4.5.1 При цифровых измерениях производится дискретизация измерительных данных с некоторым шагом квантования q. Этот нелинейный процесс приближённо оценивается как случайная функция с равномерным распределением плотности вероятности. Статистические характеристики этого распределения (рисунок 18):

МО_х=0 – при округлении;

МОх=0.5 q – при усечении

²(x) = q² / 12 (14)

где q – дискретная единица квантования.

Р (x)

Х

-0.5q MO 0.5 q

Х₁ Х₂

Рисунок 19 – Плотность распределения равновероятной случайной функции.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал Х₁ – Х₂:

Рх=( Х₁ – Х₂) / q

Если интервал полностью укладывается в пределы ±q/2, в котором находятся возможные значения случайной фвеличины, то то искомая вероятность равна отношению длин этих интервалов. Если интервал ( Х₁ – Х₂)=2σ_х, и 3σ_х, то:

Р_х = 2 (q /2√3) / q = 1/1.7 = 0.6

Р_х = 3 (q /2√3) / q = 1/1.7 = 0.85

4.6 Косвенные измерения

4.6.1 Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение величины находят измерением других величин (аргументов), связанных с измеряемой известной зависимостью [6]. Измеряемая величина Х связана с измеряемыми аргументами Хi зависимостью:

Х = f (Х₁, …Хn) (60)

По виду функциональной зависимости различают косвенные измерения с линейной зависимостью, косвенные измерения с нелинейной зависимостью и косвенные измерения с смешанной зависимостью.

4.6.2 Косвенные измерения с линейной зависимостью выражаются уравнением:

Х =A_i Х_i (61)

где A_i - постоянный коэффициент для i –го аргумента.

Математическое ожидание результата измерений:

МО_ =  А_i МО _i (62)

Общая систематическая погрешность определяется формулой:

_ =  А_i  _i (63)

Оценка дисперсии общей погрешности:

D_ =  А²_i D _i (64)

ПРИМЕР.

На консоль устанавливается ряд блоков n. Результаты взвешивания консоли и блоков с погрешностью 1%:

Х_ = 3 Х_БЛ + Х_К =А₁Х₁ +А₂Х₂

Результат взвешивания консоли: Х_к* = 05.1 кГ. Систематическая погрешность _к = -0.2 [кГ]

Результат взвешивания блоков:Х₁* =10.0кГ,Х₂* =09.5кГ,Х₃* =11.3кГ;систематическая

погрешность _n = 0.1[кГ]

Определить массу сборки (блоки на консоли) с доверительной вероятностью Р=0.99.

Решение:

1 Определить метод измерения массы сборки (блоки на консоли) и математическую зависимость результата измерения от аргументов: М_ =  А_i М _i .

2 Оценка общей массы определяется формулой:

МО_ =  А_i МО _i = 3МО_БЛ +МО_К =

=3[(10.0+9.5+11.3)/3] +1●5/1= 310.13 +5.1= 30.4 +5.1 = 35.5 кГ

3 Оценка общей систематической погрешности определяется формулой:

_{ С}=  А_i  _{i С} = 30.1 + (- 0.2) = 0.1 кГ

4 Oбщая дисперсия и СКО:

D_ =  А²_i D _i

 ²_ = A²_i ² _i = 9 0.0033² +0.0033² = 100.01= 0.1 кГ

 _= 0.33 кГ

Вес конструкции: Р_Р=0.99 = (35.5 - 0.1)0.33 кГ= 35.40.33 кГ

4.6.3 При нелинейных косвенных измерениях уравнение зависимости от аргумента:

Х =Пf_i (Х_i ) (65)

Нелинейные косвенные измерения исследуются на основе разложения функции в ряд Тейлора:

F(X₁+₁; X₂+₂ ; … X_i +_i) =

= F(X₁₀; X₂₀;… X_i0) +1/ n!( ₁F/X₁+ ₂ F/X₂+…+ _i F/X_i) ^{(n )} +…+Rост 

 F(X₁₀; X₂₀;… X_i0) + (₁F/X₁+ ₂ F/X₂+…+_i F/X_i) =

= F(X₁₀; X₂₀;… X_i0) + (A₁₁+ A₂  ₂ +…+ A _i_i ) (66)

где _1, _{2, …}_i - погрешности измерения аргументов;

Частные производные принято называть коэффициентами влияния. На практике остаточным членом выражения (66)Rост пренебрегают.

Rост = 1/2(  ²F/ ²X₁²₁+  ²F/X₁X₂₁₂ + ²F/ ²X₂₂)

Математическое ожидание измеряемой величины:

МО [F(X₁₀; X₂₀;… X_i0)] = F[MO(X₁); MO(X₂);… MO(X_i)] (67)

Систематическая погрешность:

 [F(X₁; X₂;… X_i)]_сист= A₁_1сист + A₂_{2 сист}+ … + A_i_{i сист}(68)

Среднеквадратическое отклонение измеряемой величины:

 ²[F(X₁; X₂;… X_i)] = A²₁ ² ₁ + A²₂  ²₂ + … + A² _i ²_i (69)

ПРИМЕР

Производится измерение мощности по составляющим – напряжению и току в цепи:

Р = I ²R

Где I=0.5A;  _{I сист}= 0.01А;  _{I сл}= ±0.5%; R=100 Oм; _Rсист = 1.0 Ом; _Rсл = ±1.0%

Математическое ожидание: P = = I ²R = 0.25●100= 25 Вт

Систематическая погрешность.

∆_Рсист= ( P /  I)  I + ( P/ R ) R = 2IR  _Iсист +I ² _Rсист [Вт]

Относительная систематическая погрешность:

∆_Рсист /Р= 2IR  I_сист / I ²R +I ² R_сист / I ²R=2 _Iсист /I +_Rсист / R=

= 2●0.01/0.5 + 1.0 / 100 =0.02 +0.01= 0.03=∆_{Р сист отн}

Абсолютное значение систематической погрешности:

∆_Рсист =∆_{Р сист отн} ●Р=25●0.03=0.75 Вт

Относительная случайная погрешность:

∆_Рсл = [( P /  I)² σ² _I + ( P/ R )² σ²_R ] [Вт]

Полагаем по умолчанию Р_д=0.99, тогда:

_{I сл} = 3 σ _I → σ _I = _{I сл} /3 =0.005/3 ≈ 0.0017=1.7●10 ^{- 3}

_{R сл} = 3● σ_R → σ_R = _{R сл} /3 =0.01/3 ≈ 0.0033=3.3●10 ^{- 3}

В исходных данных приведены относительные значения случайной погрешности.

D_{Р отн} = (2IR / I ²R)² σ² _I + (I ² / I ²R)² σ²_Rсл  = 2 σ² _I / I² + σ²_R /R² =

=4●2.89●10 ^{– 6} +10●10 ^{– 6} ≈ 21.6●10 ^{– 6}

σ _{Р отн} =√ D ≈ 4.6 ●10 ^{– 3} =0.46 %

Результат измерения:

Р _Р=0.99= (25 – 0.75) ± 3●0.46% = 24.25±1.38%