Diffgeomm / dopolnitelnaya / Trofimov-Vved_v_Geom_Mnogoobrazii

не излагавшийся ранее в научной и учебной литературе.

Содержание

Некоторые используемые обозначения

5

Введение

6

Глава I. Элементы дифференциальной геометрии

10

§ 1. Понятие топологического пространства

10

§ 2. Непрерывные отображения топологических пространств

16

§ 3. Аксиомы счетности

17

§ 4. Бикомпактные топологические пространства

21

§ 5. Аксиомы отделимости

22

§ 6. Секвенциально компактные топологические пространства

23

§ 7. Конструкции топологических пространств

24

§ 8. Гладкие многообразия

26

§ 9. Геометрия гладких многообразий

31

§ 10. Элементы тензорной алгебры

35

§ 11. Гладкие отображения гладких многообразий

39

§ 12. Исчисление внешних дифференциальных форм на многообразиях

42

§ 13. Интегрирование внешних дифференциальных форм

51

§ 14. Когомологии де Рама

61

§ 15. Элементы римановой геометрии

69

§ 16. Элементы аффинной геометрии

74

§ 17. Тензор кривизны

83

§ 18. Геодезические и кратчайшие

88

Глава II. Группы Ли и алгебры Ли

97

§ 1. Группы Ли

98

§ 2. Алгебры Ли

100

§ 3. Траектории левоинвариантных векторных полей

105

§ 4. Экспоненциальное отображение

109

§ 5. Сдвиги функций по траекториям

112

§ 6. Действия групп Ли

114

§ 7. Линейные представления групп Ли

119

§ 8. Автоморфизмы групп Ли

121

§ 9. Формула Маурера— Картана

124

§ 10. Основные глобальные теоремы о группах Ли

126

§ 11. Вопросы неодносвязности. Накрытия

136

§ 12. Подгруппы Ли

144

§ 13. Нильпотентные представления алгебр Ли

146

§ 14. Разрешимые алгебры Ли и их линейные представления

150

§ 15. Представления нильпотентных алгебр Ли

154

§ 16. Полупростые алгебры Ли

156

§ 17. Подалгебры Картана

158

§ 18. Метрика Киллинга

160

§ 19. Критерий Картана

162

§ 20. Структура полупростых алгебр Ли

166

§ 21. Простые алгебры Ли

172

Глава III. Симметрические пространства

174

§ 1. Понятие симметрического пространства

174

§ 2. Компактные группы Ли как римановы симметрические пространства

181

§ 3. Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные с ними римановы

188

симметрические пространства

§ 4. Связности в главных расслоениях

195

§ 5. Основные теоремы

207

§ 6. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности

215

§ 7. Вполне геодезические подмногообразия

223

§ 8. Вполне геодезические подмногообразия и инволютивные

231

автоморфизмы

§ 9. Римановы симметрические пространства

239

Глава IV. Гладкие векторные расслоения и характеристические

245

классы

§ 1. Векторные расслоения

246

§ 2. Связности и метрики в расслоениях

248

§ 3. Ковариантное дифференцирование и кривизна

252

§ 4. Характеристические классы векторных расслоений

256

§ 5. Основные характеристические классы

260

§ 6. Связности в главном расслоении реперов

266

§ 7. Трансгрессия

269^

§ 8. Эйлеров класс

276

§ 9. Геометрический смысл эйлерова класса в размерности два

284

§ 10. Геометрический смысл эйлерова класса в высших размерностях

298

Глава V. Приложения

307

§ 1. Уравнения коммутации дифференциальных операторов

308

§ 2. Скобки Пуассона гидродинамического типа и левосимметричные

317

алгебры

§ 3. Дифференциальные уравнения, описывающие движение твердого тела

327

вокруг неподвижной точки

§ 4. Согласованные скобки Пуассона

340

§ 5. Инварианты коприсоединенного представления

348

Литература

354

Предметный указатель

350

Предметный указатель

автоморфизм алгебры Ли II, 2.16 104

— радиальная I, 18.14 91

— группы Ли II, 8.1 121

гомеоморфизм I, 2.4 16

— — — внутренний II, 8.3 121

гомоморфизм алгебр Ли II, 2.16 104

— многообразия с аффинной

— Вейля IV, 4.3, 4.10 256, 260

связностью III, 1.7 175

— касательный II, 6.15 118

аксиома отделимости I, 5.1 22

— тройных систем Ли III, 8.7 232

— о параллельных прямых I, 16.30 82

градиент кососимметрический V,

— счетности вторая I, 3.1 17

3.13 334

— — первая I, 3.3 17

граница области I, 13.4 52

алгебра C V, 2.15 322

— — гладкая I, 13.4 52

— групповая II, 10.6 127

группа изометрий I, 15.11 71

— когомологий I, 14.6 63

Ли II, 1.1 98

— левосимметричная V, 2.17 322

— — компактная III, 2.1 181

— Ли II, 2.1 100

— фундаментальная II, 11.11 143

— — группы Ли II, 2.11 103

движение римановой метрики I, 15.11

— — нильпотентная II, 13.8, 13.17

действие группы II, 6.1 114

147, 150

делитель нормальный II, 12.6 144

— — полупростая II, 16.91 157

диаграмма бифуркационная V, 3.10

— — простая II, 21.1 172

333

— — разрешимая II, 14.5 151

диффеоморфизм I, 11.3 39

— — Z2-градуированная III, 3,14 195

дифференциал действия II, 6.15 118

альтернирование тензора I, 10.13 37

— ковариантный I, 16.15 77

— частичное I, 1,0.14 37

— — поля операторов IV, 3.8 254

антиувлечение ковариантных

— — сечения IV, 3.1 252

тензоров I, 11.18 42

дифференцирование алгебры Ли IIV

атлас I, 8.3 26

18.3 161

— ориентированный I, 13.8 53

— — — внутреннее II, 18.4 161

атласы эквивалентные I, 8.7 28

длина кривой I, 15.6 70

база расслоения IV, 1.1 247

закон преобразования тензорный I,

— топологического пространства I,

10.1 35

3,1 17

замыкание I, 1.19 15

базис отмеченный II, 10.6 127

идеал II, 12.8 144

валентность тензора I, 10.1 35

— двойной V, 2.18 323

вектор I, 9.1 32

— тройной системы Ли III, 8.7 232

— касательный к кривой I, 9.4 32

изометрия I, 15.10 71

— увлеченный I, 11.5 40

изоморфизм алгебр Ли II, 2.16 104

вложение I, 11.15 41

импульс V, 2.1 318

геодезическая I, 16.21 78

инвариант II, 6.4 116

индекс алгебры Ли V, 4.20 345

матрица антиэрмитова IV, 2.13.250

— сечения IV, 9.8, 10.7 287, 302

— кососимметрическая IV, 2.13.250

интеграл I, 13.15 57

— нильпотентная II, 13.5, 13.6 146

— действия I, 18.6 90

— ортогональная I, 8.16 30

— энергии I, 18.6 90

— унитарная I, 8.16 30

карта I, 8.1 26

— Якоби I, 8.11 29

— адаптированная III, 7.1 223

метрика I, 7.1 25

класс Понтрягина IV, 5.8 266

— биинвариантная III, 2.3 182

— характеристический IV, 4.3, 4.8

— в расслоении IV, 2.8 250

256, 258

— Манакова V, 3,10 332

— Чженя IV, 5.8 265

метрики топологически

— Эйлера IV, 5.11) 266

эквивалентные I, 7.2 25

коммутант алгебры Ли II, 14.1 150

многообразие геодезически полное I,

коммутатор векторных полей II, 2.4

18.21 94

101

— гладкое I, 8.8 28

комплекс симплициальный IV, 9.20

— групповое II, 10.6 127

293

— метрически полное I, 18.23 95

комплексификация расслоения IV,

— односвязное II, 10.1 126

5.9 266

— ориентируемое I, 13.8 53

компонента связности I, 1.23 16

— параллелизуемое II, 9.1 124

константы структурные II, 2.7 102

— риманово 1,15.1 69

координаты канонические в группе

— симплектическое V, 3.13 334

Ли II, 4.5 110

— топологическое I, 8.4 26

корень алгебры Ли II, 17.2 158

многообразия гомотопически

косвязность V, 2.5 3191

эквивалентные I, 14.16 65

— Леви - Чивита V, 2.6 320

момент инерции главный V, 3.1 327

— симметричная V, 2.6 320

накрытие II, 11.1 136

— согласованная с метрикой V, 2.6

— пути II, 11.3 137

320

— тривиальное II, 11.1 137

———— сильно V, 2.6 320

— универсальное II, 11.7 140

коцепь трансгрессии IV, 7.3 270

направление на геодезической III,.

кратчайшая I, 18.1 88

1.1 175

кривая I, 8.18 31

оболочка универсальная III, 8.12 233

— гладкая 1,8.1931

объем области I, 15.16 72

— спектральная V, 3.5 330

ограничение накрытия II, 11.2 137

кривизна в двумерном направлении

окрестность I, 1.10 13

III, 2.11 187

— нормальная I, 18.11 90

— гауссова I, 17.9 871

опускание индексов I, 15.5 69

— косвязности V, 2.7 320

орбита II, 6.4 116

кривые согласованные III, 5.20 211

ориентация I, 13.6 53

кубик в карте I, 13,1 51

— индуцированная I, 13.12 56

— открытый I, 1.5 12

отрезки равные на геодезической III,

лагранжиан I, 18.2 88

1.1 175

отображение гладкое I, 11.2 39

поле векторное I, 9.7 33

— непрерывное I, 2.1 16

—-— адаптированное II, 1012 128

— экспоненциальное II, 4.2 109

— — гамильтоново V, 315 335

отображения гомотопные I, 14.7 63

— — индуцированное действием II,

(L—А) -пара V, 11 309

6.8 117)

— со значениями в алгебре Ли V, 5.1

— — левоинвариантное II, 1.3 99

348

— — параллельное I, 16.6 75

параметр канонический I, 16.22 78

— — полное I, 9.11 35

— натуральный I, 15.8 70

— — правоинвариантное II, 1.6 100

— порядка V, 3.21 337

— параллельное ковариаитное

перенос параллельный I, 16.9 76

тензорное I, 16.10 76

пересадка путей II, 10.9, III, 5.22 128,

— тензорное I, 10.21 39

213

— фундаментальное II, 6.8 117

плоскость Лобачевского I, 15.13 72

полиэдр симплициальный IV, 9.20

плотность гамильтониана V, 21 318

293

— лагранжиана V, 21 317

постоянная Планка V, 1.5 310

погружение I, 11.12 41

предел I, 1.11 13

подалгебра II, 12.7 144

представление алгебры Ли линейное

— двойная V, 218 323

II, 7.5 121

— Картана II, 17.7 159

— — — присоединенное II, 7,7 121

подгруппа изотропии III, 5.6 208

— — — точное II, 7..71 121

— Ли II, 12.1 144

— Гейзенберга V, 1.1 309

— однопараметрическая II, 3.8 106

— группы Ли II, 7.1 119

— стационарная II, 6.5 116

— — — коприсоединенное V, 4.20

подмногообразие вполне

345

геодезическое III, 7.2 223

— — — присоединенное II, 8.6 122

— — — инволютивного типа III, 8.21

—- Лакса V, 1.1 309

237

— — точное V, 1.1 309

— допустимых реперов III, 5.3 208

— — со спектральным параметром

подмножество замкнутое I, 113 14

V, 3.5 330

— открытое I, 1.2 12

— локальное для функции I, 11.1 39

поднятие индексов I, 15.5 70

— нильпотентное II, 13.8 147

— пути II, 1,1.3 137

преобразование реперов допустимое

подпокрытие I, 3.6 20

III, 5.5 208

подпространство I, 1.12 13

— симметрии III, 1.2 175

— корневое II, 15.1 154

пример Диксмье V, 1.14, 1.15 313

— лагранжево V, 414 343

— Пргоффера I, 8.10 28

— максимальное изотропное V, 4.14

произведение внешнее I, 12.7 44

343

— Киллинга II, 18.1 160

подсистема тройной системы Ли III,

— прямое I, 7.5 26

8.7 232

производная внешняя I, 12.13 46

подстановка индексов I, 1010 36

— ковариантная I, 16.19 78

покрытие I, 3.5 20

— — поля операторов IV, 3.8 255

— — сечения IV, 3.3 252

264

пространства гомеоморфные I, 2.4 16

— реперов III, 4.3 195

пространство арифметическое I, 1.5

— сферическое IV, 8.4 277

12

— тривиальное IV, 1.2 247

— аффинной связности I, 16.4 75

расслоения изоморфные IV, 1.7 248

— бикомпактное I, 4.1 21

расстояние I, 7.1 25

— глобально симметрическое

— риманово I, 18.19 93

аффинной связности III, 1.11

репер III, 4.2 195

176

реперы адаптированные III, 7.8 226

— — — риманово III, 1.29. 181

— — допустимые III, 7.8 226

— касательное I, 9.3 32

— допустимые III, 5.3 208

— когомологий I, 14.3 62

ретракт деформационный I, 14.9 63

— компактное I, 5.4 23

ряд производный II, 14.3 151

— локально симметрическое

свертка тензоров I, 10.17 38

аффинной связности III, 1.11

сверхкарта IV, 1.1 247

176

— ортонормированная IV, 2.12 250

— — — риманово III, 1.29 181

связность аффинная I, 16.4 75

— метризуемое I, 7.3 25

— в расслоении IV, 2.1 248

— метрическое I, 7.1 25

— индуцированная на вполне

— наследственно нормальное I, 5.4

геодезическом

23

подмногообразии III, 7. 225

— нормальное I, 5.2 22

— каноническая на группе Ли III, 6.4

— регулярное I, 5.2 22

215

— связное I, 1.23 16

— левая на группе Ли III, 6.4 215

— секвенциально компактное I, 6.1

— метрическая IV, 2.11, 250

23

— нейтральная на группе Ли III, 6.4

— топологическое I, 1.2, 1.14 12, 14

216

— хаусдорфово I, 5.1 22

— перенесенная III, 14 175

пути гомотопные II, 10.2 1.26.

— правая на группе Ли III, 6.4 215

пфаффиан IV, 5.5 264

— риманова I, 16.12 76

радикал алгебры Ли II, 16.6 157

— согласованная с метрикой I, 16,12,

разбиение единицы I, 13.5 53

IV, 2.11 76, 250

разложение де Рама III, 9.16 243

— увлеченная III, 1.4 175

размерность карты I, 8.1 26

сдвиг левый II, 1.2 98

— расслоения IV, 1.1 246

— правый II, 1.2 98

ранг алгебры Ли II, 17.1 158

семейство функций инволютивное V,

— симметрического пространства III,

4.4 341

3.9 193

— — — полное V, 4.4, 4.27 341, 346

— тензора I, 1(0.1 35

середина отрезка геодезической III,

расслоение векторное IV, 1.1 246

1.1 175

— главное III, 4.18 202

сечение расслоения IV, 1.6 248

— ориентированное IV, 5.4 264

— параллельное IV, 2.2 249

— ориентируемое IV, 2.18, 5.4 252,

символы Кристоффеля I, 16.4 75

симметрирование тензора I, 10.12 37

угол I, 15.7 70

симплекс IV, 9.19 293

умножение тензоров I, 10.7 36

система Ли тройная III, 7.13, 8.7 230,

уравнение Гамильтона V, 2.1 318

232

— Кортевега де-Фриза V, 1.6 31Ф

— алгебраически вполне

— Лагранжа V, 2.1 318

интегрируемая V, 3.8 331

— характеристическое II, 15.1 154

— вполне интегрируемая V, 3.20 337

— Эйлера V, 3.2 328

скобка Пуассона V, 3.15, 4.1 335, 340

— —на группе SO (n) V, 3.6 330

— — гидродинамического типа V,

условие Эйлера—Лагранжа I, 18.Ј 89

2.2 318

фактор-алгебра II, 13.2 146

скобки Пуассона согласованные V,

форма внешняя I, 12.1 42

4.1 340

— замкнутая I, 14.1 62

сложение тензоров I, 10.6 36

— Кириллова V, 4.20 345

слой симплектический V, 4.4 341

— квадратичная вторая I, 17.7 85

соответствие Ли II, 12.11 146

— — первая I, 15.9 71

сравнение топологий I, 1.6 13

— кривизны III, 4.12 198

степень отображения IV, 10.2 299

— кручения III, 4.12 198

структура гладкая I, 8.8 28

— точная I, 14.1 62

— симплектическая V, 3.13 334

— увлеченная I, 12.23 48

сфера геодезическая I, 18.14 91

формы структурные II, 4.6, IV, 6.4

сумма внешних форм I, 12.6 44

196, 267

тело твердое V, 3.1 327

функции в инволюции V, 3.15 335

тензор I, 10.1 35

— перехода I, 8.5 27

— инерции V, 3.1 327

функция Казимира V, 3.7, 4.1 331,,

— кривизны I, 17.2, IV, 3.5 84, 254

340

— кручения III, 1.17 178

— кубика I, 13.1 5

— метрический I, 15.1 69

— Лагранжа V, 2.1 317

— — контравариантный I, 15.4 69

— полилинейная инвариантная IV,

топологии эквивалентные I, 1.8 13

4.1 256

топология I, 1.2 12

— тензорная III, 4.19 203

— дискретная I, 1.3 12

характеристика эйлерова IV, 9.22 293

— евклидова I, 1.9 13

центр алгебры Ли II, 13.15 150

точка накопления I, 1.15 1.4

число Бетти I, 14.3 62

— предельная I, 1.15 14

шар открытый I, 7.1 25

траектория I, 9.9 33

экспонента I, 18.10 90

трансвекция III, 1.24 179

— матрицы II, 4.6 111

треугольник I, 16.28 81

экстремаль I, I8.5 89

увлечение вектора I, 11.5 40

элемент регулярный II, 17.1 158

— дифференциальной формы I, 12.23

— сингулярный II, 17.1 158

48

элементы трансгрессивные IV, 7.11!

— ковариантного тензора I, 11.10 40

275

— связности III, 1.4 175

якобиан I, 8.1.1 29