Diffgeomm / Diffgeom-leczii

Подчеркнем еще раз, что свойство подмножества быть открытым относительное — в одну топологию подмножество может входить (и поэтому называться открытым), а в другую — нет. Например, любая точка плоскости открытое множество в дискретной топологии не открытое в тривиальной.

Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество.

Пусть в произвольном множестве X заданы две топологии τ1 и τ2, и тем самым определены два топологических пространства (X, τ1) и (X, τ2).

Определение 1.4. Говорят, что топология τ1 слабее (грубее) топологии

τ2 (и пишут τ1 τ2), если τ1 τ2, т.е. если из того, что U τ1 следует, что U τ2. Топология τ2 в этом случае сильнее (тоньше) топологии τ1.

Любая топология τ на X сильнее дискретной и слабее тривиальной топологии (τt τ τd).

Однако существуют и несравнимые топологии. Две топологии несравнимы в том случае, если каждая из них содержит лишь часть множеств, принадлежащих другой. Например, если X состоит из двух элементов p и q, а τ1 = {X, , {p}}, τ2 = {X, , {q}}, то ни одно из включений τ1 τ2, τ2 τ1 не выполняется.

3. Отделимость

Определение 1.5. Пусть A — подмножество топологического пространства X = (X, τ). Окрестностью множества A называется всякое под-

множество U τ, содержащее A.

Определение 1.6. Окрестностью точки x топологического пространства (X, τ) называется всякое подмножество U τ, содержащее x.

Ясно, что открытое множество U τ является окрестностью любой своей точки.

Окрестности используют для отделения точек друг от друга. Рассмотрим дополнительные ограничения на топологию, связанные с возможностью отделить точки пространства окрестностями3.

Определение 1.7. Топологическое пространство X называется колмогоровским, если для любых двух различных точек из X найдется окрестность одной из них, не содержащая другую.

Не трудно убедиться, что все рассмотренные выше топологические пространства, за исключением пространства с тривиальной топологией, являются колмогоровскими.

Пример 1.7. Пространство X = (R, τ), где

τ = { , R, (0, ∞)} не является колмогоровским, поскольку для точек {1} и {2} не найдется

окрестности, которая бы содержала лишь одну из них.

Требование колмогоровости является минимиальным для того, чтобы топология представляла интерес для исследования. Топологии, в которых точки нельзя отделить окрестностями, рассматриваются лишь как экзотические примеры.

3Условия, которые рассматриваются в этом пункте, называются аксиомами отделимости. Вообще известно более десятка аксиом отделимости, подробнее см. в кн. РОХЛИН В.А., ФУКС Д.Б.

Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977, или в кн. АЛЕКСАН- ДРОВ П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977.

Пусть (X, ρ) — метрическое пространство, Y X — непустое подмножество в X. Сужение метрики ρ на подмножество Y определяет метрику

ρY в Y :

ρY = ρ Y ×Y −→ R, ρY (x, y) = ρ(x, y) x, y Y.

Очевидно, что для ρY выполняются все аксиомы метрики. Полученное метрическое пространство (Y, ρY ) называется подпространством метрического пространства (X, ρ), а метрика ρY называется индуцированной в Y из

X.

Приведем классические примеры метрических пространств.

Пример 1.9 (Естественная метрика на R). Во множестве действительных чисел R зададим метрику по формуле:

ρR(x, y) = |y − x| x, y R.

Первые две аксиомы вытекают из определения модуля действительного числа |y − x|. Докажем аксиому 3). После переобозначения y − x = a, z − y = b, неравенство треугольника примет вид |a + b| 6 |a| + |b|. Последнее неравенство вытекает из правил сложения действительных чисел: если числа a и b одного знака, то |a + b| = |a| + |b|, а если разных знаков, то

|a + b| = |a| − |b| < |a| + |b|.

Метрическое пространство X, ρR называется действительной прямой с естественной (или стандартной) метрикой. Название продиктовано тем, что это принятый в анализе способ измерения расстояния между точками числовой прямой.

Как показывают следующие два примера, в одном и том же множестве можно ввести несколько различных метрик.

Пример 1.10 (Евклидова (шаровая) метрика в Rn). Фундаментальным примером метрического пространства служит стандартное, известное из курсов математического анализа и аналитической геометрии n-мерное евклидово пространство Rn. Это множество n-членных вещественных числовых

последовательностей {(x1, . . . , xn) : xi Rn}, в котором расстояние между элементами x = (x1, . . . , xn) Rn и y = (y1, . . . , yn) Rn определяется следующим образом:

Выполнение аксиом 1) и 2) очевидно. В доказательстве нуждается нера-

венство треугольника 3), которое для точек x, y и z = (z1, . . . , zn) примет вид

После переобозначения yk − xk = ak, zk − xk = bk, оно превращается в

в свою очередь вытекающее из известного неравенства Коши – Буняковского4

Извлекая квадратный корень из правой и левой частей последнего неравенства, получаем неравенство ( 1.2), а, следовательно и неравенство (1.1).

n

4Неравенство Коши – Буняковского можно получить из очевидного неравенства P (aibj −

i,j=1

ajbi)2 > 0, см. кн. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

Пример 1.11 (Чебышевская (прямоугольная) метрика в Rn). Рассмотрим снова множество Rn = {(x1, . . . , xn) : xi R}. Для x = (x1, . . . , xn) Rn и y = (y1, . . . , yn) Rn положим

ρch(x, y) = max |yk − xk|

16k6n

и покажем, что ρch(x, y) удовлетворяет всем аксиомам метрики. Как и в предыдущих примерах, нетривиальна лишь аксиома 3), которая в данном случае имеет вид

5. Топология в метрических пространствах

Пусть X = (X, ρ) — метрическое пространство, x0 — некоторая точка

X, а r — положительное действительное число.

Определение 1.10. Открытым шаром с центром в точке x0 радиуса r

называется множество

Br(x0) = x X : ρ(x0, x) < r .

Теорема 1.1. Совокупность открытых шаров в метрическом пространстве X образует базу топологии в X.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием базы (теорема ??). Неравенство треугольника показывает, что если открытый шар с центром в точке x0 и радиусом r0 содержит точку x, то он содержит открытый шар с центром в x и радиусом r = r0 − ρ(x0, x). Следовательно, в любом метрическом пространстве пересечение двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой некоторый открытый шар с центром в этой точке. Так как, кроме того, открытые шары покрывают пространство

X, то они составляют базу некоторой топологии.

Тем самым в любом метрическом пространстве (X, ρ) вводится структура топологического пространства.

Определение 1.11. Топология τ на метрическом пространстве (X, ρ), базой которой является семейство открытых шаров

B = Br(x0) = x X : ρ(x0, x) < r : x0 X, r > 0

называется метрической топологией на X.

Ясно, что любой открытый шар есть множество, открытое в метрической топологии, в силу того, что он является элементом базы топологии. Из способа задания базы следует также

Определение 1.12. Открытыми множествами в метрическом пространстве X называются подмножества X, содержащие каждую свою точку вместе с некоторым открытым шаром, т.е. такие G X, что

x G r > 0 : Br(x) G.

Не удивительно, что метрическое пространство (X, ρd) из упражнения

??. называется дискретным метрическим пространством.

Определение 1.13. Замкнутым шаром с центром в точке x0 радиуса

r называется множество

Br(x0) = x X : ρ(x0, x) 6 r .

В дальнейшем метрические пространства будут рассматриваться как топологические, имея в виду метрическую топологию. В частности, это относится к пространствам Rn и l2.

Следующее предложение дает достаточное условие для сравнения двух метрических топологий.

Предложение 1.1. Пусть τ и τ ′ — две метрические топологии на множестве X, определяемые, соответственно, метриками ρ и ρ′. Если существует такое положительное число α, что

ρ(x, y) 6 αρ′(x, y) x, y X,

Лекция 2

Непрерывное отображение топологических пространств

Два определения непрерывного отображения. Теорема об эквивалентности этих определений. Примеры. Свойства непрерывных отображений (композиция, ограничение). Гомеоморфизм, примеры гомеоморфных пространств.

1. Два определения непрерывного отображения

Введем понятие непрерывного отображения топологических пространств так, чтобы в случае числовых функций f : R −→ R оно совпадало с понятием непрерывной функции, которое используется в курсе математического анализа. Для этого проанализируем определение непрерывной функции вещественного переменного.

Определение 2.1. Функция f : R −→ R называется непрерывной в точке x0 R, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, таких, что |x − x0| < δ, выполняется |f(x) − f(x0)| < ε.

Итак: f : R → R непр. в x0 :=

ε > 0 δ > 0 x R (|x − x0| < δ |f(x) − f(x0)| < ε) .

Не трудно распространить это определение на метрические пространства, достаточно заметить, что множество {x X : |x − x0| < δ} есть ни что иное, как шар Bδ(x0) в R с центром в точке x0 и радиусом δ. Условие же “|f(x) − f(x0)| < ε для всех x, таких, что |x − x0| < δ” эквивалентно тому, что образ f(Bδ(x0)) Bε(f(x0)). Поэтому определение 2.1 можно переформулировать так:

f: R → Rнепр. в x0 := ε > 0 δ > 0 : f(Bδ(x0)) Bε(f(x0)).

Втаком виде определение непрерывности применимо для любых метрических пространств.

Определение 2.2. Пусть (X, ρX ) и (Y, ρY ) — метрические пространства. Отображение f : X −→ Y называется непрерывным в точке x0 X, если для любого шара Bε(f(x0)) Y с центром в точке f(x0) найдется шар Bδ(x0), δ > 0, с центром в точке x0 X такой, что образ f(Bδ(x0)) Bε(f(x0)).

Как теперь перейти к определению непрерывного отбражения произвольных топологических пространств? Ведь не всякое топологическое пространство метризуемо, и в нем нет понятия шара. Заменив шар с центром в данной точке на окрестность этой точки, мы получим общее определение непрерывного отображения.

Определение 2.3. Отображение f : X → Y топологического пространства X = (X, τX) в топологическое пространство Y = (Y, τY ) называется непрерывным в точке x0 X, если для любой окрестности

V(f(x0)) Y точки f(x0) Y найдется окрестность U(x0) X точки x0 X, образ которой f(U(x0)) содержится в V(f(x0)).

Итак: f : X → Y непр. в x0 := V(f(x0)) U(x0) : f(U(x0)) V(f(x0)).

Определение 2.4. Отображение f : X → Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства X.

Данное нами определение носит "локальный" характер: непрерывность отображения на всем множестве определяется через непрерывность в каждой точке. Оказывается понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологий этих пространств. А именно, имеет место следующий критерий непрерывности:

Теорема 2.1. Для того, чтобы отображение f : X → Y топологического пространства (X, τX ) в топологическое пространство (Y, τY ) было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого множества в Y был открыт в X.