3.4Замкнутые операторы

с областью определения D(A) – линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций x(t),

удовлетворяющих условиям x(0) = x(1) = 0. Доказать, что A –

замкнутый оператор.

453. Рассмотрим оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1],

d2x

Ax(t) = dt2 + x(t);

с областью определения D(A) – линейным многообразием дважды непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций x(t),

64 Глава 3. Линейные операторы в пространствах Банаха

удовлетворяющих условиям x(0) = x0(0) = 0. Доказать, что A –

неограниченный замкнутый оператор.

454. Рассмотрим оператор A : L2[a; b] ! L2[a; b],

dx Ax(t) = ; dt

с областью определения D(A) – линейным многообразием непрерывно дифференцируемых на [a; b] функций. Доказать, что

A – незамкнутый оператор, допускающий замыкание (тем самым для класса функций из L2[a; b] может быть введено понятие обобщенной производной).

3.5Сопряженный оператор

В задачах 455-458 найти оператор, сопряженный к оператору

A : L2[0; 1] ! L2[0; 1].

В задачах 459-462 найти оператор, сопряженный к оператору

A : `1 ! `1.

459.Ax = (x1; x2; : : : ; xn; 0; 0; : : :).

460.Ax = ( 1x1; 2x2; : : :), где n 2 R; j nj 1; n 2 N.

461.Ax = (0; x1; x2; : : :).

462.Ax = (x2; x3; : : :).

463.В пространстве `2 рассмотрим для x = (x1; x2; : : :) 2 `2

оператор A : `2 ! `2; Ax = (x1; 2x2; 3x3; : : :) с областью определения

а) Доказать, что D(A) = `2.

б) Доказать, что A – неограниченный на D(A) линейный оператор.

в) Найти D(A ) и A .

464. Доказать, что A : `2 ! `2; Ax = ( 1x1; 2x2; : : :) для

x = (x1; x2; : : :) 2 `2, где k 2 R (k 2 N); sup j kj < 1, есть

k

самосопряженный оператор. При каком условии на последовательность k он будет неотрицательным?

465. Доказать, что оператор

A : L2[0; 1] ! L2[0; 1]; Ax(t) = tx(t), есть неотрицательный самосопряженный оператор.

3.6Непрерывная обратимость

466. Доказать, что оператор A : L ! C[0; 1] непрерывно обратим,

если

Ax(t) = x0(t) + t2x(t); L = fx 2 C1[0; 1]; x(0) = 0g

подпространство в C1[0; 1].

467. Выяснить, является ли оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1]

непрерывно обратимым.

Z t

Ax(t) = x( )d :

0

468. Выяснить, является ли оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1]

непрерывно обратимым.

Z t

Ax(t) = x( )d x(t):

0

469. Выяснить, является ли оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1]

непрерывно обратимым.

Z 1

Ax(t) = et+ x( )d x(t):

0

3.7Спектр оператора. Резольвента

470. Показать, что если e1 и e2 – собственные векторы оператора

A с различными собственными значениями, то

e1 + e2 ( 6= 0; 6= 0) не является собственным вектором оператора A.

471. Доказать, что если – собственное значение оператора A, то

n – собственное значение оператора An.

472. Доказать, что если – собственное значение оператора A2,

pp

то или является собственным значением оператора A.

473. Доказать, что если – собственное значение оператора An,

p

то одно из значений n является собственным значением оператора A.

474.Показать, что в конечномерном пространстве спектр линейного оператора состоит только из собственных чисел.

475.Привести пример линейного оператора, который не имеет собственных значений.

476.Пусть A и B – непрерывные линейные операторы. Показать,

что

а) r( A) = j jr(A);

б) если A и B коммутируют, то

r(A + B) r(A) + r(B); r(AB) r(A) r(B). Показать, что для некоммутирующих операторов утверждение неверно. Указание. Если r – спектральный радиус оператора A и " > 0, то существует такое c, что при любом n справедливо неравенство

k An k c(r + ")n.

477. Показать, что если число 0 является регулярным для оператора A, то оно будет регулярным и для оператора A + B, когда

1

k B k k ( 0I A) 1 k:

478.Если таково, что j jn >k An k для некоторого n, то –

регулярное значение для A.

479.В комплексной плоскости рассмотреть оператор Az = az, где a – фиксированное комплексное число. Найти его спектр и спектральный радиус. Каков геометрический смысл отображения

A?

В задачах 480-489 найти спектр и спектральный радиус оператора