- •Метрические пространства
- •Метрика
- •Сходимость в метрических пространствах
- •Открытые и замкнутые множества
- •Полнота
- •Принцип сжимающих отображений
- •Линейные пространства
- •Норма
- •Скалярное произведение
- •Функционалы (норма функционала)
- •Компактные множества
- •Сопряженные пространства
- •Слабая сходимость
- •Обобщенные функции
- •Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Линейные операторы: основные определения
- •Линейные компактные операторы
- •Норма оператора
- •Замкнутые операторы
- •Сопряженный оператор
- •Непрерывная обратимость
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Интегральные уравнения
- •Интеграл Лебега. Пространства Лебега и Соболева
- •Интегральные уравнения
- •Базисы с двойной ортогональностью
- •Элементы наилучшего приближения
- •Ответы
- •Список литературы
Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики и информатики
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Сборник задач и упражнений
Учебно-методический комплекс дисциплин по проекту
"Создание научно-образовательного комплекса
для подготовки элитных специалистов в области математики, механики и информатики в Сибирском федеральном университете", рег. N 16
Красноярск 2007
2
Выполнено на кафедре теории функций
Авторы-составители:
Ермилов И.В., Шлапунов А.А., Федченко Д.П., Трутнев В.М.,
Шестаков И.В., Яковлев Е.И. Михалкин Е.Н.
3
Настоящий задачник предназначен для учебно-методического обеспечения дисциплины "Функциональный анализ" для студентов III курса, обучающихся на факультете математики и информатики Сибирского федерального университета по специальностям (направлениям) 010100 – "Математика", 010200 – "Прикладная математика и информатика".
Создание такого задачника было необходимо прежде всего потому, что во всех существующих ныне задачниках преобладают теоретические задачи. Мы попытались избавиться от этого недостатка. Хотя, нами использован и материал из достаточно современного задачника [9] (а также задачников [12], [13]). Кроме того, нам неизвестны другие задачники по функциональному анализу, изданные за последние годы в центральных издательствах тиражами, достаточными для "массового" использования в учебном процессе.
Задачи разбиты по разделам, соответствующим модулям лекционного курса.
Первый раздел посвящен теории метрических пространств. В нем собраны задачи по темам: метрика, сходимость в метрических пространствах, открытые и замкнутые множества, полнота, принцип сжимающих отображений. Эта тематика уже частично знакома студентам по курсу "Дифференциальные уравнения". Все основные примеры связаны именно с этим направлением.
Второй раздел касается теории типичных метрических пространств с линейной структурой – нормированных и евклидовых
4
пространств. В нем собраны задачи по темам: норма, скалярное произведение, ортогональность, непрерывные линейные функционалы, теорема Хана-Банаха, сопряженное пространство, обобщенные функции. Для решения подобранных нами задач студенты могут опираться на геометрическую интуицию в конечномерных пространствах, выработанную при изучении курса "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".
В третий раздел включены задачи по теории линейных операторов в пространствах Банаха. В нем мы лишь на понятийном уровне касаемся теории операторных уравнений, сосредотачиваясь на общих свойствах линейных операторов. Здесь представлены задачи по темам: ограниченные операторы, норма оператора, спектр и резольвента оператора, сопряженный оператор.
Наконец, раздел 4 в значительной мере охватывает теорию интегральных уравнений Фредгольма и теорию операторных уравнений первого рода. Наибольшее внимание уделено уравнениям второго рода с вырожденными ядрами и интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. Частично затронуты теория некорректных задач и теория интегрирования по Лебегу.
Основным источником теоретического материала, необходимого для решения задач является "Конспект лекций по дисциплине Функциональный анализ" в рамках разработанного нами учебнометодического комплекса. Студентам также рекомендуется использовать учебник [1] и [2]. В списке литературы приведены и другие
5
книги, которые студенты могут использовать. В основном это издания известных учебников прошлого столетия, которые хотя и устарели в некоторой степени (например, в терминологии), но обладают другими неоспоримыми преимуществами (например, ясностью изложения).
Оглавление
1 Метрические пространства |
8 |
|
1.1 |
Метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
1.2 |
Сходимость в метрических пространствах . . . . . . |
14 |
1.3Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . 17
1.4Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . 23
2 Нормированные пространства и функционалы |
29 |
2.1Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2Норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4Функционалы (норма функционала) . . . . . . . . . 39
2.5Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6Теорема Хана-Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8 |
Слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
2.9 |
Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
3 Линейные операторы в пространствах Банаха |
54 |
6
Оглавление |
7 |
|
3.1 |
Линейные операторы: основные определения . . . . . |
55 |
3.2 |
Линейные компактные операторы . . . . . . . . . . |
55 |
3.3 |
Норма оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
3.4Замкнутые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 |
Непрерывная обратимость . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
3.7 |
Спектр оператора. Резольвента . . . . . . . . . . . . |
66 |
4 Интегральные уравнения |
71 |
|
4.1 |
Интеграл Лебега. Пространства Лебега и Соболева . |
72 |
4.2Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3Базисы с двойной ортогональностью . . . . . . . . . 84
4.4Элементы наилучшего приближения . . . . . . . . . 84
4.5 Теорема Гильберта-Шмидта . . . . . . . . . . . . . |
86 |
Ответы |
88 |
Список литературы |
98 |
Глава 1
Метрические пространства
В этом разделе собраны задачи на тему "Метрические пространства". Большинство из них не требует каких-то особых усилий со стороны студентов. Все, что нужно знать – это базовые определения, данные на первых лекциях курса и основные понятия базовых дисциплин первого и (реже) второго курсов факультета математики и информатики (в основном это – математический анализ и алгебра).
Как известно, метрика есть обобщение понятия "расстояние". Поэтому мы сосредоточились на том, чтобы показать, как изменения метрики влекут за собой изменение базовых свойств метрического пространства.
8
1.1. Метрика |
9 |
1.1Метрика
Являются ли метриками на числовой прямой следующие функции:
1. (x; y) = jx yj.
Коротко разберем этот пример. Функция (x; y) образует метрику, если (x; y) 0 и:
1.(x; y) = 0 , x = y,
2.(x; y) = (y; x),
3.(x; y) (x; z) + (z; y);
для всех x, y и z из X. Ясно, что в нашем случае
(x; y) = jx yj 0 для любых x; y 2 R. Пусть
(x; y) = jx yj = 0, получаем, что x = y. Далее
(x; y) = jx yj = jy xj = (y; x). Легко видеть, что
jx yj = j(x z) + (z y)j jx zj + jz yj откуда сразу же получаем правило треугольника (x; y) (x; z) + (z; y). В результате, имеем, что функция (x; y) = jx yj образует метрику на R, т.к. для нее выполнены все аксиомы метрики.
2.(x; y) = jx3 y3j.
3.(x; y) = x3 y3.
4.(x; y) = jx2 y2j.
5.(x; y) = jjxj jyjj.
6.(x; y) = j cos x cos yj.
7.(x; y) = j sin x sin yj.
8.(x; y) = j tg x tg yj.
9.(x; y) = j sin(x y)j.
10 |
|
|
Глава 1. Метрические пространства |
10. |
(x; y) = (x2 + 2y2)jx yj. |
||
11. |
(x; y) = p |
|
. |
jx yj |
|||
12. |
Каким условиям должна удовлетворять определенная на R |
непрерывная функция u = f(v), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства
(x; y) = jf(x) f(y)j?
Являются ли метриками на множестве натуральных чисел функции:
13.
jn mj
(n; m) = : nm
14. |
81 + n + m; |
|
||
(n; m) = |
если n 6= m; |
|||
|
> |
1 |
|
|
|
> |
|
|
если n = m: |
|
<0; |
|
|
|
|
: |
|
|
|
Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если определить расстояние между точками M(x1; y1) и N(x2; y2)
формулой:
|
p |
|
|
p |
|
|
|
15. |
(M; N) = ( jx1 x2j + |
|
jy1 y2j)2. |
||||
16. |
(M; N) = p4 |
|
. |
||||
(x1 x2)4 + (y1 y2)4 |
|||||||
|
p |
|
|
|
|
17.(M; N) = (x1 x2)2 + (y13 y23)2.
18.(M; N) = jx1 x2j + tg jy1 y2j.
19.(M; N) = maxfjx1 x2j; jy1 y2jg.
1.1. Метрика |
11 |
Пусть X – множество всех прямых на плоскости, не проходящих через начало координат. Пусть прямые l1 и l2 задаются уравнениями:
l1 : x cos 1 + y sin 1 p1 = 0; l2 : x cos 2 + y sin 2 p2 = 0;
где 0 < 1 < 2 ; 0 < 2 < 2 ; p1 > 0; p2 > 0. Выяснить являются ли метриками на X следующие функции:
20. (l1; l2) =
p
(p2 p1)2 + (sin 2 sin 1)2 + (cos 2 cos 1)2.
21.(l1; l2) = jp2 p1j + j sin 2 sin 1j + j cos 2 cos 1j.
22.(l1; l2) = jp2 p1j + j sin 2 sin 1j.
Пусть (x; y) – метрика на множестве X. Доказать, что следующие функции также являются метриками на X.
23. (x; y) = |
(x; y) |
. |
1 + (x; y) |
||
e |
|
|
Проверим выполнение аксиом метрики для функции e(x; y).
(x; y) 0, т.к. функция (x; y) является метрикой на X. Пусть
x |
y |
|
|
|
|
x; y |
|
0 |
|
|
e = |
|
, тогда получаем, что |
( |
) = 1+0 = 0. Далее, пусть |
||||||
(x; y) = 0, отсюда сразу же получаем, что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
x; y |
) = 0 (1 + |
|
x; y |
) 6= 0 т.к. |
x; y |
) 0) теперь легко |
||||
e( |
|
( |
|
( |
|
увидеть, что x = y. Нетрудно проверить, что функция (x; y) |
||
симметрична относительно переменных x и y, т.е. |
e |
|
(x; y) |
(y; x) |
|
e(x; y) = = = e(y; x): 1 + (x; y) 1 + (y; x)
Осталось только проверить аксиому треугольника для функции
e(x; y), однако это легко сделать непосредственной проверкой.
12 |
Глава 1. Метрические пространства |
24.e(x; y) = ln[1 + (x; y)].
25.e(x; y) = minf1; (x; y)g.
26.(x; y) = (x; y) . e 2 + (x; y)
27.Доказать, что аксиомы метрики эквивалентны следующим двум аксиомам:
1)(x; y) = 0 () x = y,
2)(x; y) (x; z) + (y; z) для всех x; y; z:
28. Является ли метрикой на X = fa; b; cg функция , если
(a; c) = (c; a) = (a; b) = (c; b) = 2; где
(b; a) = (b; c) = 1? Удовлетворяет ли аксиоме треугольника?
29. На множестве X = fa; b; cg задана метрика такая, что
(a; b) = (b; c) = 1: Какие значения может принимать (a; c)?
30. Дано множество X = fx0; x1; : : : ; xng: Зададим так:
1)(xi; xi) = 0;
2)(x0; xi) = (xi; x0) = 1 при i > 0;
3)(xi; xj) = d при i 6= j; i > 0; j > 0:
p
Доказать, что при d = 2 функция удовлетворяет аксиомам метрики. Найти все значения d, при которых – метрика.
31. Образует ли метрику на множестве многочленов функция
(P1; P2) = jP1(0) P2(0)j?
32.Доказать, что система аксиом метрического пространства непротиворечива и независима.
33.Доказать, что множество целых чисел становится метрическим пространством, если положить (a; b) = 0 при a = b и
1.1. Метрика |
13 |
(a; b) = 1=3k при a 6= b, где k – наивысшая степень 3, на которую делится нацело разность a b. Найти
(7; 5); (7; 2); (7; 25).
34. Доказать, что множество полей шахматной доски образует метрическое пространство, если за расстояние от поля x до поля y
принять наименьшее число ходов, которое потребуется коню, чтобы перейти с поля x на поле y.
35. Найти расстояние между функциями x(t) = t3 и
y(t) = 3t + 4 в пространствах:
a) L [0; 2]; б) |
L [0; 2]; в) C[0; 2]; г) C1[0; 2]; д) |
C2[0e;12]: |
e2 |
Здесь и далее Cs[a; b] – пространство s раз непрерывно
дифференцируемых функций на отрезке [a; b] с метрикой
s |
|
|
|
|
djx |
|
|
djy |
|
|
(x; y) = |
max |
|
(t) |
|
(t) ; |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dtj |
|||||||
s |
t |
2 |
[a;b] dtj |
|
|
|||||
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а Lep[a; b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a; b]
с метрикой
Z b 1=p
(x; y) = jx(t) y(t)jp dt :
a
36. Найти расстояние между точками A( 2; 4) и B( 4; 2) в
пространствах:
a) R22; б) R21; в) R21:
37. Найти множество точек M пространства R21, расстояние каждой из которых до точки A(0; 0) в 2 раза больше, чем расстояние до точки B(3; 0):