6. Работа сил электростатического поля в случае двух точечных зарядов. Потенциал. Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов.

Работа сил электростатического поля. Для точечных зарядов сила, действующая на заряд , направлена вдоль линии, соединяющей зарядыq и , т.е. по радиус-вектору(зарядq находится в начале координат) (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1

Вектор бесконечно малого перемещения зарядасовпадает, при таком выборе системы координат, с вектором– бесконечно малым приращением радиус-вектора заряда. Значитds – модуль бесконечно малого перемещения – равен модулю вектора ,^{т. е.} .^{Из рисунка видно, что} , ^{здесь dr} – бесконечно малое приращение длины вектора .

Работа на всем пути, от точки 1 до точки 2, равна:

^.

Потенциал.

потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме дается следующей формулой:

^. (3.3)

Из формулы (3.3) видно, что потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов можно представить как произведение величины второго заряда на функцию, зависящую от величины первого заряда q и расстояния до точки, в которой находится второй заряд:

где – потенциал электростатического поля точечного заряда

В общем случае электростатический потенциал  поля, создаваемого произвольным распределением зарядов равен, по определению, отношению потенциальной энергии пробного зарядав электростатическом поле к величине этого пробного заряда:

^. (3.5)

Единица потенциала в системе СИ – вольт (В):

Зная – потенциал электростатического поля в любой точке пространства, легко найти потенциальную энергию любого точечного зарядаq, помещенного в данную точку пространства:

(3.6)

Следовательно, работу электростатического поля по перемещению электрического заряда можно выразить, используя (3.2) и (3.6), следующим образом:

(3.7)

здесь – потенциалы поля в точках, между которыми переместился заряд.

Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов.

- Формула выражает принцип суперпозиции для потенциала электростатического поля: потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

7.Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Связь между напряжённостью электростатического поля и потенциалом.

^, (3.14)

кружок у знака интеграла в (3.14) обозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру. Интеграл вида (3.14) по замкнутому контуру называют циркуляцией вектора . Следовательно, циркуляция вектора электростатического поля, вычисленная по любому замкнутому контуру, равна нулю. Это общее свойство всех полей консервативных сил (потенциальных полей).

(3.17)

Если ввести следующее обозначение:

(3.18)

то формула (3.17) запишется в компактном виде:

(3.19)

Введенный нами математический объект называетсяоператором градиента и формула (3.19) читается так: «вектор равен минус градиент».

8.Эквипотенциальные поверхности, их связь с силовыми линиями.

Из самого названия следует, что эквипотенциальные поверхности – это поверхности равного потенциала. Следовательно, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

Форма эквипотенциальных поверхностей связана с формой силовых линий: эквипотенциальные поверхности расположены так, что в каждой точке пространства силовая линия и эквипотенциальная поверхность взаимно перпендикулярны.

Если условиться проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между двумя соседними поверхностями была одинакова, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля.

Если рассечь эквипотенциальную поверхность плоскостью, то в сечении получаются линии равного потенциала, эквипотенциальные линии.